Ing Mathematik: Logisches Schließen

Wir setzen nun fort, was im letzten Kapitel begonnen wurde. Auch wenn der Stoff etwas abstrakt erscheinen mag, ohne ihn lassen sich die mathematischen Sätze, die später kommen werden, nicht verstehen. Deshalb sollte dieser Abschnitt aufmerksam gelesen werden.

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Die Implikation $A\Rightarrow B$ ist bereits bekannt (aus A folgt B; A impliziert B)). Man nennt A hier auch die Voraussetzung und B die Folgerung des Satzes.

Notwendige Bedingung

Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig, wenn $S\Rightarrow B$ gilt.

Hinreichende Bedingung

Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S hinreichend, wenn $B\Rightarrow S$ gilt.

Notwendige und hinreichende Bedingung

Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig und hinreichend, wenn $S\iff B$ gilt.

	$S\Rightarrow B$	$B\Rightarrow S$	$S\iff B$
B ist wahr	?	S ist wahr	S ist wahr
B ist falsch	S ist falsch	?	S ist falsch

Grundlegende Schlussregeln

Bei logischen Schlüssen (Konklusionen) stellen die Schlussregeln immer sicher, dass aus wahren Aussagen wieder wahre Aussagen folgen. Darin unterscheiden sie sich grundlegend von Schlussfolgerungen, die jeder immer wieder im normalen Leben zieht. Die "alltäglichen" Schlussfolgerungen können sich nämlich auch als falsch herausstellen (geozentrisches Weltbild, Hexenverfolgung, kein Alibi = schuldig, etc.)

Abtrennungsregel

Die Abtrennungsregel wird auch als Modus ponens bezeichnet.

Ist A wahr und ist auch $A\to B$ wahr, so ist auch B wahr.

$A\wedge (A\to B)\Rightarrow B$

Widerlegungsregel

Die Widerlegungsregel wird auch als Modus tollens bezeichnet.

Ist $A\to B$ wahr und ist auch $\mathrm{\neg }B$ wahr, so ist $\mathrm{\neg }A$ wahr.

$(A\to B)\wedge \mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$

Kontrapositionsregel

Ist $A\to B$ wahr , so ist auch $\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A$ wahr.

$(A\to B)\Rightarrow \mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A$

Kettenschluss

Ist $A\to B$ wahr und ist auch $B\to C$ wahr, so ist $A\to C$ wahr.

$(A\to B)\wedge (B\to C)\Rightarrow A\to C$.

Fallunterscheidung

Sind $A\vee B$, $A\to C$, sowie $B\to C$ wahr, so ist auch C wahr.

$(A\vee B)\wedge (A\to C)\wedge (B\to C)\Rightarrow C$.

Reductio ad absurdum

Folgt aus A sowohl B als auch $\mathrm{\neg }$B, so ist $\mathrm{\neg }$A wahr.

$(A\to B)\wedge (A\to \mathrm{\neg }B)\Rightarrow \mathrm{\neg }A$.

Übungen

1. Beweisen Sie die Schlussregeln durch Aufstellen der Wahrheitstafeln.
2. Könnte man die Widerlegungsregel auch zu $(A\to B)\wedge \mathrm{\neg }A\Rightarrow \mathrm{\neg }B$ umformulieren?