Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Vierzehneck

Vierzehneck (Tetradecagon)

• Das regelmäßige Vierzehneck ist nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze (Abbildung) des Siebenecks (Heptagon) nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel "Tomahawk" zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze

Vierzehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt $O$ mit einem Kreis mit Radius $6.$ Es folgt die Festlegung der Punkte $A(6,0),P(-1,0),Q(-3,0)$ und $R(3,0)$. Anschließend werden die Punkte $K(0,\sqrt{27})$ und $L(0,-\sqrt{27})$ bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis $\overline{QR}$. Nach dem Verbinden der Punkte $K$ und $L$ mit $P$ $($in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen $P$ und $O)$, wird um $P$ ein Kreisbogen von $K$ bis $L$ gezogen. Nun drittelt man den Winkel $LPK$ mit einer freiwählbaren Methode (z. B. Kurven, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte $S$ und $T$. Eine Gerade durch $S$ und $T$ ergibt $B$ und $G$, die zusammen mit $G$ Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks sind.

Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels $AOB$ des Siebenecks und man erhält so den zweiten Eckpunkt $E_2$ des gesuchten Vierzehnecks. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens $OA{E}_2$ nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius $\overline{AM}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_1$.
3. Halbgerade senkrecht zu $\overline{A{E}_1}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken $\overline{AD}=\frac{1}{10}\cdot \overline{AM}=\overline{AF}=\overline{FG}=\overline{GH}=\overline{HI}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$.
6. Strecken $\overline{DJ}=\overline{JA}=\overline{AK}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $L$, dessen Abstand zu Punkt $B$ ist gleich der Strecke $\overline{MH}$. In der Darstellung beschrieben als $|BL|=\overline{MH}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $N$ als $|CN|=\overline{AG}$ bis $V$ als $|CV|=\overline{MK}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $V$ durch $U$ bis sie die äußere Kreislinie in $W$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $W$ durch $T$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $Z$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $A_1$ bis $H_1$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung $H_1$ mit $M$ schneidet den innersten Kreis in $E_3$ als dritten Eckpunkt des entstehenden Vierzehnecks; die Strecke $\overline{E_3{E}_1}$ ist die angenäherte Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks.
10. Halbiere den Winkel $E_{1}M{E}_3$, es ergibt auf dem innersten Kreis den Eckpunkt $E_2$ des Vierzehnecks.
11. Verbinde den Eckpunkt $E_2$ mit $E_1$, es ergibt die angenäherte Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Vierzehnecks.
12. Trage auf den innersten Kreis, ab dem Eckpunkt $E_2$, die Seitenlänge $a$ elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Vorlage:Blau

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Vierzehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=0,445041867912629[LE]$
• Seitenlänge des Siebenecks $a_{SOLL}=2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{14}\right)=0,445041867912629\dots [LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_a=a-a_{SOLL}=0,0[LE]$

• Konstruierter Zentriwinkel des Siebenecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen) $\mu =25,7142857142857^{\circ }$
• Zentriwinkel des Siebenecks ${\mu }_{SOLL}=\frac{360^{\circ }}{14}=25,7142857142857{\dots }^{\circ }$
• Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels

Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler $F_{\mu }=\mu -{\mu }_{SOLL}=0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks

Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 185–187 (p. 193 Fig.4)" Archivdatei abgerufen am 04. 04. 2016

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