Mathe für Nicht-Freaks: Komposition stetiger Funktionen

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Viele Funktionen sind als Verkettungen von anderen Funktionen definiert. Die direkte Überprüfung auf Stetigkeit mit Hilfe des Folgen- oder des Epsilon-Delta-Kriteriums ist bei diesen Funktionen oftmals aufwändig. Jedoch kann man beweisen, dass Verkettungen stetiger Funktionen wieder stetig sind. Diese Verkettungssätze erleichtern den Nachweis der Stetigkeit ungemein.

Die Verkettungssätze

Die Verkettungssätze für stetige Funktionen lauten:

Motivation

Stell dir vor, wir haben die Funktion $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$, $x\mapsto \left|\frac{1+x^3}{1+x^2}\right|$ gegeben und wollen diese Funktion auf Stetigkeit untersuchen. Sei hierzu $a\in ℝ$ ein beliebiges Argument von $f$ und sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$. Nun können wir die Grenzwertsätze für konvergente Folgen anwenden:

Wir durften die Grenzwertsätze anwenden, da alle Subfolgen konvergent waren (dies haben wir am Ende der Umformungen gezeigt). Da $a\in ℝ$ beliebig gewählt wurde, haben wir die Stetigkeit der Funktion $f$ bewiesen. Dieser Beweis ist im Grunde nur eine Anwendung des Folgenkriteriums zusammen mit den Grenzwertsätzen. Weil wir den Limes dank der Grenzwertsätze in die Funktion ziehen können, können wir damit die Stetigkeit beweisen. Dieses Vorgehen kann mit Hilfe der Verkettungssätze verkürzt werden. Nehme hierzu folgende Funktionen:

• $a:ℝ\to ℝ:x\mapsto x$
• $b:ℝ\to ℝ:x\mapsto 1$
• $c:ℝ\to {ℝ}^{+}:x\mapsto |x|$

Dann können wir $f$ als Verkettung der obigen Funktionen darstellen:

Da jede der Funktionen $a$, $b$ und $c$ stetig ist, ist nach den obigen Verkettungssätze auch $f$ stetig. Diese Begründung ist kürzer als der Beweis mit dem Folgenkriterium. Wir können also argumentieren: $f$ ist als Verkettung stetiger Funktion stetig.

Beispielaufgabe

Die folgende Aufgabe zeigt, wie einfach mit Hilfe der Verkettungssätze die Stetigkeit einer Funktion bewiesen werden kann:

<section begin="Aufgabe:Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion" />Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe<section end="Aufgabe:Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion" />

Allgemeine Beweisskizze

<section begin="Beweisskizze" />Nach den Verkettungssätzen ist jede Komposition von stetigen Funktion wiederum eine stetige Funktion. Wenn also eine Funktion $f:D\to ℝ$ als Verkettung stetiger Funktionen dargestellt werden kann, dann ist damit die Stetigkeit von $f$ bewiesen. Ein Beweis dazu könnte folgende Form aufweisen:

Ein solcher Beweis sollte aber nur dann geführt werden, wenn die Verkettungssätze in der Vorlesung bereits bewiesen wurden.<section end="Beweisskizze" />

Folgerung: Polynomfunktionen sind stetig

Jede Polynomfunktion ist eine Verkettung der beiden Funktionen:

• $f:ℝ\to ℝ:x\mapsto x$
• $g_c:ℝ\to ℝ:x\mapsto c$

$f$ ist die Identitätsfunktion und $g_c$ ist die konstante Funktion mit dem Wert $c$. Diese Funktionen sind stetig und damit ist auch jede Polynomfunktion stetig. Beispielsweise kann die Funktion $h:ℝ\to ℝ:x\mapsto 2x^3-4x+23$ folgendermaßen dargestellt werden:

Es ist nämlich

Vertiefung

Wie bei den Grenzwertsätzen, wo die Subfolgen konvergent sein müssen, benötigen wir bei den Verkettungssätzen die Stetigkeit der einzelnen Teilfunktionen. Bei Verkettung beliebiger Funktionen wissen wir nicht, ob die verkettete Funktion stetig ist, oder nicht. Sei beispielsweise

Die Funktion $f$ ist stetig an der Stelle $x=0$, während $g$ dort nicht stetig ist. Das Produkt der beiden Funktionen ist $g$, denn $f(x)\cdot g(x)=1\cdot g(x)=g(x)$. Demnach ist es unstetig an der Stelle $x=0$. Umgekehrt kann es vorkommen, dass die Verkettung von unstetigen Funktionen stetig ist. Betrachten wir die Funktion

Diese Funktion ist $1$ an den rationalen und $0$ an den irrationalen Stellen. Für die Verknüpfung $h\circ h$ ergibt sich:

$h\circ h$ ist eine konstante Funktion und damit stetig, obwohl $h$ selbst unstetig ist. Die Verkettung unstetiger Funktionen kann also selbst eine stetige Funktion ergeben.

Vergleich zum Epsilon-Delta-Kriterium

Zu Beginn dieses Artikels haben wir mit Hilfe der Verkettungssätze gezeigt, dass die Funkion$\sqrt{5+x^2}$stetig ist. Zum Vergleich wollen wir versuchen dies mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums „von Hand“ zu zeigen. Der sich so ergebende Satz ist umfangreicher als der über die Verkettungssätze.

<section begin="Aufgabe:Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion" />Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe<section end="Aufgabe:Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion" />

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