Formelsammlung Mathematik: Multilineare Algebra

Raum ohne Skalarprodukt

Tensoren

Rechenregeln:

• Das Tensorprodukt ist bilinear.
• Assoziativgesetz: $(a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)$.

Tensorprodukt zweier Vektoren:

$v\otimes w=\left(\sum _i{v}^i{b}_i\right)\otimes \left(\sum _j{w}^j{b}_j\right)=\sum _{ij}{v}^i{w}^j{b}_i\otimes b_j.$

Alle Rechenregeln gelten analog für Kovektoren:

$f\otimes g=\left(\sum _i{f}_i{b}^i\right)\otimes \left(\sum _j{g}_i{b}^j\right)=\sum _{ij}{f}_i{g}_j{b}^i\otimes b^j.$

Applikation eines Tensors vom Typ (0,2) auf zwei Vektoren:

$T(v,w)=(\sum _{ij}{T}_{ij}{b}^i\otimes b^j)(\sum _i{v}^i{b}_i,\sum _j{w}^j{b}_j)=\sum _{ij}{T}_{ij}{v}^i{w}^j.$

Applikation eines Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

$T(v_1,\dots ,v_p)=\sum _{i_1\dots i_p}{T}_{i_1\dots i_p}{v}_1^{i_1}\dots v_p^{i_p}.$

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,2) auf auf zwei Vektoren:

$T(v,w)=\sum _{i<j}{T}_{ij}(v^i{w}^j-v^j{w}^i).$

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

$T(v_1,\dots ,v_p)=\sum _{i_1<\dots <i_p}{T}_{i_1\dots i_p}\sum _{\sigma \in S_p}\mathrm{sgn}(\sigma )v_1^{\sigma (i_1)}\dots v_p^{\sigma (i_p)}.$

Äußere Algebra

Äußeres Produkt, Rechenregeln:

• Das äußere Produkt ist bilinear.
• Assoziativgesetz: $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$.
• Antikommutativität: $a\wedge b=-b\wedge a$ für Vektoren $a,b$ des zugrundeliegenden Vektorraumes.
• Wenn $\lambda$ ein Skalar ist, dann gilt $\lambda \wedge a=a\wedge \lambda =\lambda a$.

Seien $A,B$ alternierende Tensoren, sei $r:=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(A)$ und $s:=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(B)$. Es gilt:

$A\wedge B=(-1{)}^{rs}B\wedge A.$

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und $(b_k{)}_{k=1}^n$ eine Basis von $V$.

Für zwei Vektoren $v=\sum _k{v}^k{b}_k$ und $\sum _k{w}^k{b}_k$ gilt:

$v\wedge w=\sum _{ij}{v}^i{w}^j{b}_i\wedge b_j=\sum _{i<j}(v^i{w}^j-v^j{w}^i)b_i\wedge b_j,$

$v\wedge w=v\otimes w-w\otimes v=\sum _{ij}(v^i{w}^j-v^j{w}^i)b_i\otimes b_j=\sum _{ij}{v}^i{w}^j(b_i\otimes b_j-b_j\otimes b_i).$

Sei $T$ ein alternierender Tensor. Wegen $T^{ij}=-T^{ji}$ gilt:

$T=\sum _{ij}{T}^{ij}{b}_i\otimes b_j=\frac{1}{2}\sum _{ij}{T}^{ij}(b_i\otimes b_j-b_j\otimes b_i)=\frac{1}{2}\sum _{ij}{T}^{ij}{b}_i\wedge b_j=\sum _{i<j}{T}^{ij}{b}_i\wedge b_j.$

Sei $T$ ein alternierender Tensor. Wegen $T^{i_1\dots i_p}=\mathrm{sgn}(\sigma )T^{\sigma (i_1)\dots \sigma (i_p)}$ gilt:

$\begin{array}{cc}T& =\sum _{i_1\dots i_p}{T}^{i_1\dots i_p}{b}_{i_1}\otimes \dots \otimes b_{i_p}=\sum _{i_1\dots i_p}{T}^{i_1\dots i_p}{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(b_{i_1}\otimes \dots \otimes b_{i_p})\\ & =\frac{1}{p!}\sum _{i_1\dots i_p}{T}^{i_1\dots i_p}{b}_{i_1}\wedge \dots \wedge b_{i_p}=\sum _{i_1<\dots <i_p}{T}^{i_1\dots i_p}{b}_{i_1}\wedge \dots \wedge b_{i_p}.\end{array}$

Alle Rechenregeln gelten auch für Kovektoren (dargestellt als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis) bzw. Tensoren vom Typ (0,p) anstelle des Typs (p,0).

Applikation eines alternierenden Tensors $T\in {\bigwedge }^2(V^{*})$ auf zwei Vektoren:

$T(v,w)=(\sum _{i<j}{T}_{ij}{b}^i\wedge b^j)(\sum _i{v}^i{b}_i,\sum _j{w}^j{b}_j)=\sum _{i<j}{T}_{ij}(v^i{w}^j-v^j{w}^i).$

Alternator

Sind $a,b$ Tensoren vom Typ (1,0) oder (0,1), so gilt:

${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_2(a\otimes b)=\frac{1}{2}(a\otimes b-b\otimes a),$

$a\wedge b=2{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_2(a\otimes b).$

Ist $a_k$ für jedes $k$ ein Tensor erster Stufe, so gilt:

${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(a_1\otimes \dots \otimes a_p)=\frac{1}{p!}\sum _{\sigma \in S_p}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )a_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes a_{\sigma (p)},$

$a_1\wedge \dots \wedge a_p=p!{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(a_1\otimes \dots \otimes a_p).$

Seien $T,S$ Tensoren der Stufe $p$. Sei $\lambda$ ein Skalar. Es gilt:

${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(T+S)={\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(T)+{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(S),$

${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(\lambda T)=\lambda {\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_p(T).$

Seien $A,B$ alternierende Tensoren, sei $r:=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(A)$ und $s:=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(B)$. Es gilt:

$A\wedge B=\frac{(r+s)!}{r!s!}{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_{r+s}(A\otimes B).$

Seien $A_k$ ein alternierender Tensor, sei $r_k:=\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(A_k)$. Es gilt:

$A_1\wedge \dots \wedge A_p=\frac{(r_1+\dots +r_p)!}{r_1!\dots r_p!}{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_{r_1+\dots +r_p}(A_1\otimes \dots \otimes A_p).$

Wenn $A$ ein alternierender Tensor vom Grad $r$ ist, dann ist ${\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}_r(A)=A$.

Raum mit Skalarprodukt

Metrischer Tensor

$g_{ij}=⟨b_i,b_j⟩$	$g^{ij}=⟨b^i,b^j⟩$
$g_{ij}=g_{ji}$	$g^{ij}=g^{ji}$

$g=B^{T}B$ mit

$B=(b_1,\dots ,b_m)=(\left[\begin{array}{c}{b}_{11}\\ \dots \\ b_{n1}\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}{b}_{1m}\\ \dots \\ b_{nm}\end{array}\right])=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \dots & b_{1m}\\ \dots & \dots & \dots \\ b_{n1}& \dots & b_{nm}\end{array}\right]$

$g^{ij}=(g^{-1}{)}_{ij}$

$\left[\begin{array}{cc}{g}^{11}& g^{12}\\ g^{21}& g^{22}\end{array}\right]=\frac{1}{g_{11}{g}_{22}-g_{12}{g}_{12}}\left[\begin{array}{cc}{g}_{22}& -g_{12}\\ -g_{12}& g_{11}\end{array}\right]$

Ein Vektor $v$ kann als Linearkombination aus der Basis $(b_k)$ oder der Dualbasis $(b^k)$ dargestellt werden:

$v=\sum _k{v}^k{b}_k=\sum _k{v}_k{b}^k.$

$v^i=\sum _k{g}^{ik}{v}_k$	$v_i=\sum _k{g}_{ik}{v}^k$
$b^i=\sum _k{g}^{ik}{b}_k$	$b_i=\sum _k{g}_{ik}{b}^k$

Tensor zweiter Stufe:

• $T=\sum _{ij}{T}^{ij}{b}_i\otimes b_j=\sum _{ij}{T}_i{}^j{b}^i\otimes b_j=\sum _{ij}{T}^i{}_j{b}_i\otimes b^j=\sum _{ij}{T}_{ij}{b}^i\otimes b^j$
• $T_{ij}=\sum _k{g}_{ki}{T}^k{}_j=\sum _{kl}{g}_{ki}{g}_{lj}{T}^k{}^l$

Tensor beliebiger Stufe:

• $T=\sum _{i_1\dots i_r}{T}^{i_1\dots i_r}{b}_{i_1}\otimes \dots \otimes b_{i_r}$
• $T_{\dots }^{\dots }{}_i{}_{\dots }^{\dots }=\sum _k{g}_{ik}{T}_{\dots }^{\dots }{}^k{}_{\dots }^{\dots }$
• $T_{\dots }^{\dots }{}^i{}_{\dots }^{\dots }=\sum _k{g}^{ik}{T}_{\dots }^{\dots }{}_k{}_{\dots }^{\dots }$