Mathe für Nicht-Freaks: Archimedisches Axiom

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Das archimedische Axiom

Veranschaulichung des archimedischen Axioms: Egal wie klein die Strecke A ist, wenn man diese Strecke nur hinreichend oft aneinander legt, wird die Gesamtlänge größer als bei der Strecke B

Beginnen wir das Kapitel mit dem archimedischen Axiom:

Beachte, dass für uns das archimedische Axiom kein Axiom ist, sondern ein Theorem. Denn im letzten Kapitel zur Vollständigkeit der reellen Zahlen haben wir bereits ein Axiom definiert, aus dem das archimedische Axiom folgt. Da aber die meisten Lehrbücher den obigen Satz als eines der Axiome für reelle Zahlen benutzen und es somit als „archimedisches Axiom“ bezeichnen, werde ich dies auch in diesem Lehrbuch machen.

Bedeutung des archimedischen Axioms

Datei:Archimedisches Axiom.webm

Die Bedeutung des archimedischen Axioms wird klar, wenn wir seine Aussage negieren. Aus

wird durch Negation

Es gibt also positive Zahlen $x$ und $y$, so dass jedes Vielfache von $x$ kleiner als $y$ ist. Damit wäre $y$ eine in Relation zu $x$ unendlich große Zahl. Wir können also sagen

Wenn $y$ bezüglich $x$ unendlich groß ist, dann ist $\frac{y}{x}$ eine unendlich große Zahl, also eine Zahl, welche größer als jede natürliche Zahl ist. Analog ist $\frac{x}{y}$ eine unendlich kleine Zahl, welche kleiner als jede positive rationale Zahl ist. Da es aber nach dem archimedischen Axiom keine solche Zahlen $x$ und $y$ geben kann, schließt es auch die Existenz unendlich kleiner oder unendlich großer Zahlen aus. Man kann also auch sagen:

Alternative Formulierung des archimedischen Axioms

Das Inverse einer unendlich kleinen Zahl ist unendlich groß und umgekehrt. Damit bedingen sich unendlich kleine und unendlich große Zahlen gegenseitig. Es reicht also aus, nur die Existenz der unendlich kleinen oder die Existenz der unendlich großen Zahlen auszuschließen, um eine Aussage äquivalent zum archimedischen Axiom zu erhalten.

Eine unendlich große Zahl ist eine Zahl $x$, die größer als jede natürliche Zahl $N$ ist. Die Existenz einer unendlich großen Zahl wird also durch folgende Aussage beschrieben:

Die Negation dieser Aussage schließt damit die Existenz unendlich großer Zahlen aus. Sie lautet:

Analog kann auch die Existenz unendlich kleiner Zahlen ausgeschlossen werden. Eine unendlich kleine Zahl ist eine Zahl, die kleiner als jeder Quotient $\frac{1}{N}$ mit einer natürlichen Zahl $N$ ist. Wenn es also unendlich kleine Zahlen geben würde, würde gelten:

Die Aussage, die die Existenz unendlich kleiner Zahlen ausschließt, lautet damit:

Damit haben wir zwei Alternativformulierungen für das archimedische Axiom gefunden. Dass die beiden Aussagen auch wirklich alternative Formulierungen des archimedischen Axioms sind, können wir dadurch zeigen, dass sie äquivalent zum archimedischen Axiom sind:

Beweis des archimedischen Axioms

Wie oben bereits erwähnt, ist für uns das archimedische Axiom kein Axiom, sondern ein Satz, den wir dementsprechend auch beweisen müssen. Dies wollen wir nun tun:

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