Formelsammlung Statistik/ Parameterschätzung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ

Vorlage:Latex IndexNormalverteiltes Merkmal mit bekannter Varianz

Das Zufallsintervall enthält mit einer Wahrscheinlichkeit 1-α den Parameter:

$P(\overline{x}-z_{1-\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le -\mu \le \overline{x}+z_{1-\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha$

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].$

(Quantil z aus Normalverteilungstabelle)

Vorlage:Latex IndexNormalverteiltes Merkmal mit unbekannter Varianz

Für normalverteilte Merkmale und unbekannter Varianz muss die Varianz durch s² geschätzt werden.

$P(\overline{x}-t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{x}+t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}})=1-\alpha .$.

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}].$

(Quantil $t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)$ aus der t-Verteilungstabelle bei Freiheitsgrad n-1).

Vorlage:Latex IndexMerkmal mit unbekannter Verteilung und bekannter Varianz

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].$ für n > 30.

Vorlage:Latex IndexMerkmal mit unbekannter Verteilung und unbekannter Varianz

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{s}{\sqrt{n}}].$ für n > 50

Vorlage:Latex IndexKonfidenzintervalle für den Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit

Modell mit Zurücklegen

Beschreibung durch den geschätztem Anteilswert $\hat{p}=\frac{x}{n}$. Für n > 100 und $n\hat{p}(1-\hat{p})\ge 9$)

erhält man das 1-α-Konfidenzintervall für p durch eine Approximation der Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung:

$[\hat{p}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}].$

Modell ohne Zurücklegen

Für $n>\frac{9}{p(1-p)},n>100n/N\le 0,05$ kann die hypergeometrische Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden:

$(1-\alpha )$-Konfidenzintervall für $\theta$:

$[p-z(1-\frac{\alpha }{2})\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}};p+z(1-\frac{\alpha }{2})\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}].$