Formelsammlung Mathematik: Irrationalität und Transzendenz

Die eulersche Zahl ist irrational

$\mathrm{e}\notin \mathbb{Q}$.

Das Exponential einer rationalen Zahl ungleich null ist irrational

$r\in {\mathbb{Q}}^{\times }\Rightarrow {\mathrm{e}}^r\notin \mathbb{Q}$.

Die Kreiszahl π ist irrational

$\pi \notin \mathbb{Q}$.

Das Quadrat der Kreiszahl π ist irrational

${\pi }^2\notin \mathbb{Q}$.

Die eulersche Zahl ist transzendent

$\mathrm{e}\in 𝕋$.

Die Kreiszahl π ist transzendent

$\pi \in 𝕋$.

Für eine algebraische Zahl ungleich null sind exp, sin, cos, sinh, cosh transzendent

$\alpha \in {𝔸}^{\times }\Rightarrow {\mathrm{e}}^{\alpha },\cos \alpha ,\sin \alpha ,\cosh \alpha ,\sinh \alpha \in 𝕋$.

Für ein rationales Vielfaches von π ist der Kosinus algebraisch

$r\in \mathbb{Q}\Rightarrow \cos (r\pi )\in 𝔸$.

Werte von arccos(x)/π für spezielle Argumente

$n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1,2,4\}\Rightarrow \frac{1}{\pi }\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\notin \mathbb{Q}$.

Die Apéry-Konstante ist irrational

$\zeta (3)\notin \mathbb{Q}$.

Gelfond-Schneider-Theorem

$\alpha \in 𝔸\setminus \{0,1\},\beta \in 𝔸\setminus \mathbb{Q}⟹{\alpha }^{\beta }\in 𝕋$.

Satz von Erdős-Borwein

$q\in \mathbb{Z}\setminus \{-1,0,1\},r\in \mathbb{Q}\setminus \{0,q,q^2,q^3,...\}⟹\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^n-r},\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{q^n-r}\in (ℝ\setminus \mathbb{Q})\setminus L$

Mit L ist die Menge der liouvilleschen Zahlen gemeint. Blender3D: Vorlage:Klappbox

Lemma von Lambert

$\alpha \in {\mathbb{Q}}^{\times }⟹\tan \alpha \notin \mathbb{Q}$