Statistische Mechanik/ Fouriertransformierte

Im Folgenden soll gezeigt werden, dass

$\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\frac{1}{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}=\frac{1}{4\pi r}{e}^{-\frac{r}{\xi }}$

gilt.

Durch Einführen von Kugelkoordinaten und Integration über den Winkel $\varphi$ ergibt sich das Integral zu:

$\int \frac{dkd\theta d\varphi }{{\left(2\pi \right)}^3}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\frac{k^2\sin \theta }{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}=\int \frac{dkd\theta }{{\left(2\pi \right)}^2}\exp (i|k||r|\cos \theta )\frac{k^2\sin \theta }{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}$

Die Integration über den Winkel $\theta$ lässt sich mit Hilfe der Substitution $t:=\cos \theta$ und $dt=-\sin \theta d\theta$ ausführen:

$\int \frac{dk}{{\left(2\pi \right)}^2}[\exp \left(ikr\right)-\exp (-ikr)]\frac{-ik}{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}$

Die auftretenden Integrale der Form $\int dz\exp (\pm iz)\frac{z}{z^2+\frac{1}{{\xi }^2}}$ lassen sich mit Hilfe des Residuensatzes ausführen. Der Integrand hat Polstellen 1. Ordnung bei $z=\pm \frac{i}{\xi }$

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