Statistische Mechanik/ f-dimensionales Kugelvolumen

Ein f-dimensionales Volumen erhält man aus folgendem Integral, in dem verallgemeinerte Kugelkoordinaten eingeführt wurden:

$V_f\left(R\right)=\int d^{f}x=C_f{R}^f\Rightarrow d^{f}x=d{V}_f\left(R\right)=f{C}_f{R}^{f-1}dR$.

Der Faktor $C_f$ eines solchen Volumens kann mit Hilfe eines Tricks bestimmt werden:

$\underset{{ℝ}^3}{\int }{d}^{f}x\exp (-\underset{=R^2}{\underbrace{\stackrel{f}{\sum _{i=1}}{x}_i^2}})=\stackrel{f}{\underset{i=1}{\mathrm{\Pi }}}\underset{=\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }}{\underbrace{\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}_i{e}^{-x_i^2}}}={\pi }^{\frac{f}{2}}$,

wenn auf der linken Seite der oben gewonnene Ausdruck für $d^{f}x$ eingesetzt wird:

${\pi }^{\frac{f}{2}}=f{C}_f\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dR{R}^{f-1}{e}^{-R^2}=C_f\frac{f}{2}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}d\xi {\xi }^{-\frac{1}{2}}{\xi }^{\frac{f-1}{2}}{e}^{-\xi }$, $=C_f\frac{f}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{f}{2}\right)=C_f\mathrm{\Gamma }(\frac{f}{2}+1)$,

worin wir die Substitution $\xi =R^2\Rightarrow dR=\frac{1}{2}{\xi }^{-\frac{1}{2}}d\xi$ und die Definition und Eigenschaften der Gammafunktion verwendet haben.

Das f-dimensionale Volumen nimmt daher folgende Gestalt an:

$V_f\left(R\right)=\int d^{f}x=C_f{R}^f=\frac{{\pi }^{\frac{f}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{f}{2}+1)}{R}^f$.