Statistische Mechanik/ Hyperbelfunktionen

Mathematische Ergänzungen: Hyperbelfunktionen

Es werden oft unterschiedliche Grenzfälle betrachtet, bei denen Hyperbelfunktionen genähert werden müssen. Daher wiederholen wir hier kurz deren Grenzwertverhalten und verwenden dabei insbesondere $e^{\pm x}\underset{x\ll 1}{\sim }1\pm x+\frac{1}{2}{x}^2\pm \frac{1}{3!}{x}^3$.

$\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\underset{x\ll 1}{\sim }x-\frac{1}{3!}{x}^3$ $\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\underset{x\gg 1}{\sim }\frac{1}{2}{e}^x$ $\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\underset{x\ll 1}{\sim }1+\frac{1}{2}{x}^2$ $\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\underset{x\gg 1}{\sim }\frac{1}{2}{e}^x$

Hieraus folgt für den Tangenshyperbolicus:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\underset{x\ll 1}{\sim }\frac{x-\frac{1}{3!}{x}^3}{1+\frac{1}{2}{x}^2}\approx (x-\frac{1}{3!}{x}^3)(1-\frac{1}{2}{x}^2)\approx x-\frac{1}{3}{x}^3$ $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\underset{x\gg 1}{\sim }1$

und somit für den Kotangenshyperbolicus:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}\underset{x\ll 1}{\sim }\frac{1}{x(1-\frac{1}{3}{x}^2)}\approx \frac{1}{x}(1+\frac{1}{3}{x}^2)=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}$

Wegen der Definition der Hyperbelfunktionen gilt außerdem noch

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$, $\frac{d}{dx}\tanh x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}$.