Mathematische Übungsbeispiele: Matrizen Rechenweg

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Matrizenmultiplikation

Berechne das Produkt der Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 7& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$

Multipliziert man zwei $(2,2)$-Matrizen miteiander, ergibt sich wieder eine $(2,2)$-Matrix. Ein Element $a_{ij}$ ergibt sich durch Skalarmultiplikation der $i$-ten Zeile der ersten Matrix mit der $j$-ten Spalte der zweiten Matrix.

$\begin{array}{ccccccc}(1\cdot 4)& +& (-3\cdot 7)& =& a_{11}& =& -17\\ (1\cdot -2)& +& (-3\cdot 0)& =& a_{12}& =& \cdots \\ (2\cdot 4)& +& (5\cdot 7)& =& a_{21}& =& \cdots \\ (2\cdot -2)& +& (5\cdot 0)& =& a_{22}& =& \cdots \end{array}$

Das Ergebnis ist somit

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-17& -2\\ 43& -4\end{array}\right)$

Für die Lösungsüberprüfung musst du -17, -2, 43, -4 eingeben.

Matrix und Vektor

Berechne das Produkt aus Matrix und Vektor

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$

Multipliziert man eine $(2,2)$-Matrix mit einer $(2,1)$-Matrix (ein Vektor) miteiander, ergibt sich eine $(2,1)$-Matrix, also wieder ein Vektor. Ein Element $a_{ij}$ ergibt sich wie oben durch Skalarmultiplikation der $i$-ten Zeile der ersten Matrix mit der $j$-ten Spalte der zweiten Matrix (in dem Fall hat sie nur eine einzige und man braucht den Index für Spalte gar nicht anzuschreiben)

$\begin{array}{ccccccc}(2\cdot -2)& +& (1\cdot 1)& =& a_1& =& -3\\ (-1\cdot -2)& +& (3\cdot 1)& =& a_2& =& 5\end{array}$

Für die Lösungsüberprüfung musst du -3, 5 eingeben.