Moderne Termlogik: Termlogik und Prädikatenkalkül: Verbesserungsversuche

Moderne Termlogik

Termlogik und Prädikatenkalkül

Verbesserungsversuche

Es ist, wie schon im vorigen Abschnitt angedeutet, naheliegend, die Forderung der Existenz von Elementen $\alpha$ mit der Eigenschaft $a(\alpha )$ explizit in die Definition von $Aab$ mit aufzunehmen. Da $Oab$ die Negation von $Aab$ sein soll, ergibt sich nun das folgende modifizierte Schema:

Urteil		Definition
$Aab$	:=	$\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\wedge \mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha ))$
$Eab$	:=	$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$
$Iab$	:=	$\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$
$Oab$	:=	$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\vee \nexists \alpha (a(\alpha ))$

Mit Hilfe des Kalküls der Aussagen- bzw. Prädikatenlogik lässt sich nun die Formel $Iab$ aus der Formel $Aab$ herleiten (das war ja auch der Sinn der Übung!):

Zeile	Aussage	Regel	angewendet auf
1	$\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\wedge \mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha ))$	Annahme
2	$\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))$	$\wedge B$	1
3	$\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha ))$	Annahme
4	$a(u)$	$*$	3
5	$a(u)\Rightarrow b(u)$	$\mathrm{\forall }B$	2
6	$b(u)$	$\to B$	4,5
7	$b(u)\wedge a(u)$	$\wedge E$	4,6
8	$\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$	$\mathrm{\exists }E$	7

($*$ : Die Tabelle ist noch nicht vollständig!)