Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Lineare Unabhängigkeit

Definition

Seien $v_1,\dots ,v_n$ Vektoren in einem Vektorraum $V$. $v_1,\dots ,v_n$ heißen linear abhängig wenn $\mathrm{\exists }{\lambda }_1,...,{\lambda }_n\in ℝ(\mathrm{\exists }{\lambda }_1\ne 0)$, so dass $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i=0$. Sie heißen linear unabhängig, wenn aus $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i=0$ stets folgt, dass ${\lambda }_i=0$ für alle $i=1,...,n$ folgt. Das bedeutet dann, dass kein Vektor eine Linearkombination der anderen darstellt.

Beispiele

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$ sind linear unabhängig.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$ sind linear abhängig.

Wir werden später noch eine Möglichkeit sehen wie man das schnell testen kann.