Mathematik: Topologie: Stetigkeit: Komposition stetiger Funktionen

Beweis der Stetigkeit von $g\circ f$ in $x$.

Sei $V$ eine Umgebung von $g\circ f(x)=g(f(x))$. Aufgrund der Stetigkeit von $g$ existiert dann eine Umgebung $W$ von $f(x)$ mit $g(W)\subset V$.

Aus der Stetigkeit von $f$ folgt nun die Existenz einer Umgebung $U$ von $x$ mit $f(U)\subset W$.

Dann ist aber $g\circ f(U)=g(f(U))\subset g(W)\subset V$ und dies bedeutet gerade die Stetigkeit von $g\circ f$ in $x$.