Formelsammlung Physik/ Hydrostatik

$\sqrt[n]{x}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Hydrostatik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Druck in Flüssigkeiten

Konstanten:

g = w:Fallbeschleunigung

p₀ = w:Luftdruck über der Flüssigkeit

ρ = w:Dichte des Mediums

Druck in Tiefe x:

$p(x)=p_0+g\cdot \rho \cdot x$

In w:Wasser ist ρ = 1000 kg/m³, ferner ist g = 9,81 m/s² und p₀ = 101325 Pa, somit

$p(x)=101325\mathrm{P}\mathrm{a}+9810\frac{kg}{m^2{s}^2}\cdot x,$

also 9810 Pascal je Tiefenmeter. Faustregel: Alle 10 Meter nimmt der Druck um 1 Atmosphäre zu.

Druck in Gasen

g = w:Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe h₀

p₀ = w:Luftdruck in Meereshöhe

Variablen:

R = w:universelle Gaskonstante,

M = w:molare Masse,

T = Temperatur in w:Kelvin

h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential

$p(h)=p_0\cdot \exp (-\frac{1}{R}\underset{h_0}{\overset{h}{\int }}\frac{g(h^{\prime })M(h^{\prime })}{T(h^{\prime })}\mathrm{d}{h}^{\prime })$

Für die Dichte gilt dabei

$\rho (h)=p(h)\cdot \frac{M(h)}{RT(h)}.$

Isotherme Höhenformel

Konstanten:

R = w:universelle Gaskonstante,

M = w:molare Masse,

g = w:Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe

p₀ = w:Luftdruck in Meereshöhe

T = Temperatur in w:Kelvin

Variablen: h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential,

$p=p_0{e}^{-\frac{h}{h_s}}\text{mit}{h}_s=\frac{RT}{Mg}$

Höhenformel mit linearem Temperaturverlauf

T₀ = w:Temperatur in Meereshöhe (Kelvin)

α = Temperaturgradient dT/dh

$p=p_0{(1+\frac{\alpha h}{T_0})}^{\beta }\text{mit}\beta =-\frac{Mg}{R\alpha }$

Höhenformel mit stückweise linearem Temperaturverlauf

Variablen:

$i\ge 0$ = Nummer der Luftschicht; 0 = unterste Schicht

p_i = Druck an der Basis der i-ten Luftschicht

T_i = Temperatur an der Basis der i-ten Schicht

${\alpha }_i=\frac{T_{i+1}-T_i}{h_{i+1}-h_i}$ = Temperaturgradient der i-ten Luftschicht

${\beta }_i=-\frac{Mg}{R{\alpha }_i}$

Druck an der Obergrenze der i-ten Luftschicht

$p_{i+1}=p_i\cdot \{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{Mg}{R{T}_i}(h_{i+1}-h_i)},& \text{wenn}{\alpha }_i=0\\ {(1+\frac{{\alpha }_i(h_{i+1}-h_i)}{T_i})}^{{\beta }_i}& \text{wenn}{\alpha }_i\ne 0\end{array}$

Druck in beliebiger Höhe $h_n\le h\le h_{n+1}$:

$p(h)=p_n\cdot \{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{Mg}{R{T}_n}(h-h_n)},& \text{wenn}{\alpha }_n=0\\ {(1+\frac{{\alpha }_n(h-h_n)}{T_n})}^{{\beta }_n}& \text{wenn}{\alpha }_n\ne 0\end{array}$

Temperatur:

$T(h)=T_n+{\alpha }_n(h-h_n)$

Beispiel: w:Standardatmosphäre bis etwa 90 Kilometer Höhe (M = 29 g/mol).

Linearer Verlauf von Temperatur und Molmasse

Konstanten:

${\mu }_i=\frac{M_{i+1}-M_i}{h_{i+1}-h_i}$ = Gradient der molaren Masse M in der i-ten Schicht, so dass für beliebige $h_n\le h\le h_{n+1}$ gilt

$M(h)=M_n+{\mu }_n(h-h_n)$

Fall A: Isotherm

$p(h)=p_n\cdot \exp (-\frac{g(h-h_n)}{R{T}_n}(M_n-{\mu }_n\cdot h_n+\frac{{\mu }_n}{2}\cdot (h+h_n)))$

Fall B: Stückweise lineare Temperatur

$p(h)=p_n\cdot {(1+\frac{{\alpha }_n(h-h_n)}{T_n})}^{{\gamma }_n}\cdot \exp (-\frac{g{\mu }_n}{R{\alpha }_n}(h-h_n))$

mit

${\gamma }_n=\frac{g({\mu }_n{T}_n-{\alpha }_n{M}_n)}{R{\alpha }_n^2}$

Der rekursive Aufbau aller Schichten i = 0...n erfolgt analog zur Atmosphäre mit stückweise linearer Temperatur. Beispiel für nichtkonstantes M: Erdatmosphäre oberhalb von 90 Kilometern Höhe (abschnittweise linear interpoliert).

Alternativ kann an Stelle von T auch eine durch die Molekularmasse "skalierte Temperatur", T_M, verwendet werden:

$T_M(h)=T(h)\cdot \frac{M_0}{M(h)}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{w}\mathrm{.}M(h)=M_0\frac{T(h)}{T_M(h)}$

An Stelle des wahren Temperaturgradienten α tritt α_M, der Gradient von T_M. Da M in der Formel durch M₀ ersetzt wird, kann die einfachere Formel für konstantes M verwendet werden. Allerdings ist, insbesondere bei kleiner Anzahl der Stützstellen, zu beachten, dass M(h) hier nicht wie die Temperatur stückweise linear ist, denn der Molmassengradient µ ist nun nicht mehr konstant in jeder Teilschicht, sondern hat nach der w:Quotientenregel die Gestalt

$\mu =\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}h}=M_0\frac{\alpha T_M-{\alpha }_{M}T}{T_M^2}.$

Geopotential-Korrektur

h = Geopotential-Höhe

z = Wahre Höhe

R = Erdradius

$z(h)=\frac{Rh}{R-h}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{w}\mathrm{.}h(z)=\frac{Rz}{R+z}$

⇒ z ≈ h für kleine h