Quelltext der Seite Punktmengentopologie/ Basen von Topologien

{{Definition|Basis|Es sei <math>X</math> eine Menge und <math>\mathcal B</math> eine Menge von Teilmengen von <math>X</math>. <math>\mathcal B</math> nennt man eine '''Basis''' für eine Topologie auf <math>X</math> genau dann, wenn die Menge <math>\mathcal T</math> von Teilmengen von <math>X</math>, die aus allen Vereinigungen von Elementen von <math>\mathcal B</math> ist, eine Topologie ist.}}

{{Satz|Charakterisierung von Basen einer Topologie durch eine Schnittmengeneigenschaft|Es sei <math>X</math> eine Menge und <math>\mathcal B</math> eine Menge von Teilmengen von <math>X</math>. Dann ist <math>\mathcal B</math> eine Basis einer Topologie auf <math>X</math> genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
#<math>\bigcup_{B \in \mathcal B} B = X</math>
#Falls <math>A, B \in \mathcal B</math> und <math>x \in A \cap B</math> sind, dann gibt es ein <math>C \in \mathcal B</math> mit <math>x \in C \subseteq A \cap B</math>.}}

{{Beweis|Zunächst sei <math>\mathcal B</math> eine Basis einer Topologie auf <math>X</math>. Es seien <math>A, B \in \mathcal B</math> und <math>x \in A \cap B</math>. <math>A</math> und <math>B</math> sind offen, das heißt, <math>A \cap B</math> ist eine Vereinigung von Elementen von <math>\mathcal B</math>. Daher gibt es also ein <math>C \in \mathcal B</math> mit <math>x \in C \subseteq A \cap B</math>.

Umgekehrt seien die zwei Bedingungen wahr. Wir behaupten, dass die Vereinigungen von Elementen aus <math>\mathcal B</math> eine Topologie formen. Wegen der ersten Bedingung ist <math>X</math> in der Menge der Vereinigungen von Elementen aus <math>\mathcal B</math>, und da die leere Vereinigung die leere Menge ist, ist auch die leere Menge in der Menge der Vereinigungen von Elementen aus <math>\mathcal B</math>. Es ist ferner klar, dass die Menge von Vereinigungen von Elementen aus <math>\mathcal B</math> unter Vereinigungen abgeschlossen ist.

Seien nun <math>A, B</math> zwei Vereinigungen von Elementen aus <math>\mathcal B</math>. Wir schreiben
:<math>A = \bigcup_{C \in S_1} C</math> und <math>B = \bigcup_{D \in S_2} D</math>,
wobei <math>S_1, S_2 \subseteq \mathcal B</math>. Dann gilt
:<math>A \cap B = \bigcup_{C \in S_1 \atop D \in S_2} C \cap D</math>.
Nun ist aber <math>C \cap D</math> wegen der zweiten Bedingung eine Vereinigung von Elementen aus <math>\mathcal B</math>.}}