Quelltext der Seite Primzahlen: Ib. Kapitel: Variationen zur Teilbarkeit von Primzahlen

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Wie im Vorwort schon erwähnt, lässt sich eine Primzahl als eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, definieren. Aufgrund dieser Eigenschaft existiert der naive Primzahlentest, bei der eine Zahl <math>n</math> auf die Teilbarkeit durch alle Zahlen zwischen 2 und <math>\sqrt n</math> getestet wird:

{| border=0
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*Eine Primzahl: 7
:<math>7 \mod 2 = 1</math> : teilerfremd!
:<math>7 \mod 3 = 1</math> : teilerfremd!
:<math>7 \mod 4 = 3</math> : teilerfremd!
:<math>7 \mod 5 = 2</math> : teilerfremd!
:<math>7 \mod 6 = 1</math> : teilerfremd!
|
[[Bild:Tabellen trenner360.GIF]]
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*Keine Primzahl: 12
:<math>12 \mod 2 = 0</math> : '''nicht teilerfremd!'''
:<math>12 \mod 3 = 0</math> : '''nicht teilerfremd!'''
:<math>12 \mod 4 = 0</math> : '''nicht teilerfremd!'''
:<math>12 \mod 5 = 2</math> : teilerfremd!
:<math>12 \mod 6 = 0 </math> : '''nicht teilerfremd!'''
|}

In Zusammenhang mit der oben angegebenen Eigenschaft "Eine Primzahl als eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist" gibt es noch weitere Eigenschaften, die sich aus dieser Eigenschaft ableiten lassen:

1. Zwei natürliche Zahlen, deren Summe eine Primzahl ergeben, sind immer teilerfremd. Allerdings ergibt die Summe zweier teilerfremder natürlicher Zahlen nicht immer eine Primzahl.

{| border=0
|
*Eine Primzahl: 11
:<math>11 = 2 + 9</math> : teilerfremd!
:<math>11 = 3 + 8</math> : teilerfremd!
:<math>11 = 4 + 7</math> : teilerfremd!
:<math>11 = 5 + 6</math> : teilerfremd!
|
[[Bild:Tabellen trenner360.GIF]]
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*Keine Primzahl: 15
:<math>15 = 2 + 13</math> : teilerfremd!
:<math>15 = 3 + 12</math> : '''nicht teilerfremd!'''
:<math>15 = 4 + 11</math> : teilerfremd!
:<math>15 = 5 + 10</math> : '''nicht teilerfremd!'''
:<math>15 = 6 + 9</math> : '''nicht teilerfremd!'''
:<math>15 = 7 + 8</math> : teilerfremd!
|}

2. Es ist nicht möglich, eine Primzahl in die Form eines Rechtecks zu bringen.<br />
Beispiele:
 --1--2---3----4---5----6----7----8----9----10-----11----11---
 --X--XX--XXX--XX--XXX--XXX-XXXX-XXXX--XXX--XXXXX--XXXX--XXXXX
 --------------XX--XX---XXX-XXX--XXXX--XXX--XXXXX--XXXX--XXXXX
 --------------------------------------XXX---------XXX---X----