Quelltext der Seite Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 2

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Als '''Die drei antiken Probleme''' oder  '''Klassische Probleme der antiken Mathematik'''  werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen nicht (exakt) als {{w|Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}} lösbar.
* Lösungskriterien, Historisches u. a. m. sind im Artikel {{w|Klassische Probleme der antiken Mathematik|Klassische Probleme der antiken Mathematik}} enthalten.
* In diesem Kapitel werden zu den drei klassischen Problemen Methoden aufgezeigt, mit denen außergewöhnlich genaue Näherungslösungen möglich sind. Die Approximationen sind auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung auf Format DIN A4 darstellbar. 

== Hilfsmittel==
===Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl===

====Verwendungszweck====
* Für Quadratur des Kreises, Verdoppelung des Würfels u. a. m., in denen ein ''Bruch als exakte Strecke'' benötigt wird.
* Vorzugsweise geeignet für Brüche <math>\frac{8}{1}</math> > <math>\frac{\mbox{Zähler}}{\mbox{Nenner}}</math> > <math>\frac{1}{8}</math>

====Konstruktionsprinzip====
* Eine Anwendung des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen.  
* Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''', zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen '''s<sub>2</sub>''' und '''s<sub>4</sub>''', ein zu '''s<sub>1</sub>''' paralleler Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''', zwei Diagonalstrahlen '''s<sub>5</sub>''' und '''s<sub>6</sub>''' und zwei Hilfsstrahlen '''s<sub>7</sub>''' und '''s<sub>8</sub>'''.
* Es sind echte und unechte Brüche sowie Dezimalbrüche, die im Schema Platz finden, einsetzbar. 
* '''Tipp:''' Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die entsprechende Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.

====Konstruktion====
[[File:01-Schema Konstruktion Brüche auf Strahl s1.svg|500px|rechts|Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl]]
# Die Lage des Zahlenstrahls '''s<sub>1</sub>''' ist frei wählbar (siehe im Folgenden ''Quadratur des Kreises''). Ist es bezüglich des Platzbedarfs möglich, zeichne z.&nbsp;B. durch den Punkt '''A''' den Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>'''. Er ist für die Darstellung des konstruierten Zählers und des konstruierten Nenners bestimmt.  
# Zeichne den  Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>''' durch den Punkt '''A''' senkrecht stehend zum Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>'''. 
# Trage z. B. zwei gleichlange Strecken ab dem Punkt '''A''' nach unten auf dem Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>''' ab und bezeichne deren Endpunkte mit '''B''' bzw. '''C'''.
{{--|* '''Beachte:''' Die Position des Punktes '''A''' vom Strahl '''s<sub>1</sub>''' auf dem Strahl '''s<sub>2</sub>''' (Abstand zu Punkt '''C''') ist frei wählbar.}}
# <li value="4">Zeichne durch den Punkt '''C''' den zum Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''' parallelen Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>'''. 
# Trage die Strecke '''{{Overline|AB}}''' achtmal ab dem Punkt '''A''' nach oben auf dem Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>''' ab, es ergibt sich der Schnittpunkt '''D,10''', der Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>''' ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.   
# Konstruiere die Strecke '''{{Overline|CE}}''' auf dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' mittels eines Kreisbogens um '''C''' mit dem Radius gleich der Strecke '''{{Overline|CD,10}}'''. 
# Zeichne den Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' ab dem Punkt '''E''' parallel zum Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>'''. 
# Trage die Strecke '''{{Overline|AB}}''' einmal ab dem Punkt '''E''' sowie achtmal ab dem Punkt '''2''' auf dem Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' ab, es ergeben sich die Schnittpunkte '''F''' und '''10,G''', der Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' ist somit in zehn gleiche Teile geteilt. 
# Verbinde den Punkt '''B''' mit dem Punkt '''F'''. 
# Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl '''s<sub>5</sub>''' ab dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' durch den Punkt '''B''' bis zum Punkt '''10,G''', es ergibt sich auf dem  Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' der Scheitelpunkt '''H'''.  Der Scheitelpunkt '''H''' ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' ausgehen.
# Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl '''s<sub>6</sub>''' ab dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' durch den Punkt '''F''' bis zum Punkt '''D,10''', es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' der Scheitelpunkt '''I'''.  Der Scheitelpunkt '''I''' ist  für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl  '''s<sub>2</sub>''' ausgehen.
# Teile den Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' in drei gleichlange Teile, es ergeben sich die Punkte '''J''' und '''K'''.
# Zeichne die Hilfsstrahlen '''s<sub>7</sub>''' und '''s<sub>8</sub>''' jeweils senkrecht stehend zum Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' ab dem Punkt '''J''' bzw. ab dem Punkt '''K'''. Die beiden Hilfsstrahlen werden alternativ nur zur Lagebestimmung (Abstand zum Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''') der projizierten Zahl verwendet.
{{--|* '''Beachte:''' Die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen können nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden!}}  
# <li value="14">Konstruiere die Strecke '''{{Overline|LE}}''' gleich der Strecke '''{{Overline|EI}}''' auf dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>'''
# Verbinde den Punkt '''L''' mit dem Punkt '''3''' auf dem Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>'''.
# Zeichne eine Parallele zur Strecke '''{{Overline|L3}}''' ab dem Punkt '''F''' vom Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''M''' auf dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>'''. 
# Konstruiere die Strecke '''{{Overline|NJ}}''' gleich der Strecke '''{{Overline|LM}}'''  sowie die Strecke '''{{Overline|JO}}''' gleich der Strecke '''{{Overline|EM}}'''  auf dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''', es entstehen die beiden Scheitelpunkte '''N''' und '''O'''.
# Konstruiere die Strecke '''{{Overline|KP}}''' gleich der Strecke '''{{Overline|LM}}'''  sowie die Strecke '''{{Overline|KQ}}''' gleich der Strecke '''{{Overline|EM}}'''  auf dem Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''', es entstehen die beiden Scheitelpunkte '''P''' und '''Q'''.
*'''Somit ist das Schema (exakt) konstruiert'''.

===Weblinks===
{{w|Strahlensatz#Formulierung_der_Strahlensätze| Dritter Strahlensatz}}<br />
{{w|Zahlengerade| Zahlenstrahl}}

==Quadratur des Kreises==
=== Variante 1 ===
{{blau|Näherungskonstruktion mit Darstellung des halben Kreisumfangs|blue}}

==== Konstruktionsprinzip ====
* Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''', zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen '''s<sub>2</sub>''' und '''s<sub>4</sub>''', ein zu '''s<sub>1</sub>''' paralleler Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''', zwei Diagonalstrahlen '''s<sub>5</sub>''' und '''s<sub>6</sub>''' und zwei Hilfsstrahlen '''s<sub>7</sub>''' und '''s<sub>8</sub>'''.
* Von dem vorgegebenen Nenner und Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor <math>\frac{1}{10}</math> bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor <math>\frac{1}{100}</math> verkleinert und auf einem Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>''' oder '''s<sub>4</sub>''' geometrisch addiert bzw. subtrahiert. 
* Zuerst wird der Nenner konstruiert, anschließend zum Punkt '''A''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''' addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, z. B. '''V, Nenner''',  mit dem Punkt '''T''' des Zahlenstrahls '''s<sub>1</sub>''' (Wert = '''1''') verbunden, dabei ergibt sich die ''Verbindungsstrecke'' '''{{Overline|V, NennerT</sub>}}'''.
: Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt '''A''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''' addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt, z. B.  '''W, Zähler'''. 
: Die abschließende Parallele zur ''Verbindungstrecke'' '''{{Overline|V, NennerT</sub>}}''' erzeugt den Schnittpunkt '''B<sub>1</sub>''' auf dem Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>'''. Somit entspricht die Länge der Stecke '''{{Overline|AB<sub>1</sub>}}''' exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.
* Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an <math>\mathbf{\pi}</math> bzw. an <math>\mathbf{\sqrt{\pi}}</math> hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.
* Es sind sämtliche Brüche  z. B. <math>\frac{355}{113},\;\frac{3.141.592}{1.000.000}, \; \frac{177.245}{100.000} </math> mit einer beliebigen Näherung an <math>\mathbf{\pi}</math> bzw. an <math>\mathbf{\sqrt{\pi}}</math> einsetzbar.

==== Konstruktion ====
* Als Basiskonstruktion ist das [[#Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl| Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl]] eingearbeitet. Da für den Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''' der Abstand '''{{Overline|AC</sub>}}''' auf '''s<sub>2</sub>''' frei wählbar ist, wurde er aus Gründen des Platzbedarfs (Einer des Zählers ist '''2''' ) nahe '''2,5''' gewählt.
* Wähle z. B. einen Dezimalbruch oder einen unechten Bruch der die gewünschte Näherung an <math>\mathbf{\pi}</math> hat. 
* Im dargestellten Beispiel ist der unechte Bruch <math>\frac{245.850.922}{78.256.779}</math> gewählt, dieser wurde schon 1770 von Johann Heinrich Lambert in seinem Buch "Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung" veröffentlicht.
* Fünfzehn Nachkommastellen sind gleich deren des Wertes <math>\mathbf{\pi}</math>.
[[File:01-Quadratur des Kreises-Lambertscher Bruch.svg|900px|rechts]]

===== Radius des Kreises =====
# Bestimme den Radius '''r''' des Kreises mittels der beliebigen Strecke '''{{Overline|AT}}'''. Um die prinzipielle Genauigkeit des Konstruktionsprinzips (mithilfe GeoGebra) zu verdeutlichen, ist in der folgenden Darstellung der Radius '''r = 1''' gewählt. 
# Konstruiere den Mittelpunkt '''M<sub>K</sub>''' so, dass der anschließend eingezeichnete Kreis mit dem Radius '''r''' gleich der Strecke '''{{Overline|M<sub>K</sub>T}}''', den Teilerstrahl '''s<sub>2</sub>''' und den Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''' berührt.

===== Nenner =====
# Verbinde den neunten Punkt des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''' (Zahl '''9''', START Einer, Nenner) mit dem Scheitelpunkt '''N''' des Hilfsstrahls '''s<sub>7</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''9'''. Der Wert der Zahl '''9''' vom Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' ist dadurch mit dem Faktor <math>\frac{1}{10}</math> verkleinert. 
# Greife die Strecke '''{{Overline|J9}}''' ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''79'''.
# Verbinde den Schnittpunkt '''79''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''' mit dem Scheitelpunkt '''P''' des Hilfsstrahls '''s<sub>8</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''79'''. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt '''O''' des Hilfsstrahls '''s<sub>7</sub>''' oder mit dem Scheitelpunkt '''I''' des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''' verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen ('''s<sub>2</sub>, s<sub>4</sub>''') und Hilfsstrahlen ('''s<sub>7</sub>, s<sub>8</sub>''') in etwa gleichmäßig zu verwenden.
# Greife die Strecke '''{{Overline|K79}}''' vom Hilfsstrahl '''s<sub>8</sub>''' ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''779'''.
# Verbinde den Schnittpunkt '''779''' des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''' mit dem Scheitelpunkt '''H''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''779'''. 
# Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Nenner mit dem Schnittpunkt '''78.256.779''' auf dem Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' konstruiert ist.
# Greife die Strecke '''{{Overline|EU}}''' (Nenner) ab und addiere sie zum Punkt '''A''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''V, Nenner'''. Somit ist der Nenner konstruiert.
# Verbinde den Schnittpunkt '''V, Nenner''' mit dem Punkt '''T''' des Zahlenstrahles '''s<sub>1</sub>''', es ergibt sich die Strecke '''{{Overline|V, NennerT}}'''.  
 
===== Zähler =====
# Verbinde den zweiten Punkt des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''' (Zahl '''2''', START Einer, Zähler) mit dem Scheitelpunkt '''N''' des Hilfsstrahls '''s<sub>7</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''2'''.
# Greife die Strecke '''{{Overline|R2}}''' ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom dritten Teilungspunkt des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''22'''. 
# Verbinde den Schnittpunkt '''22''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''' mit dem Scheitelpunkt '''I''' des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''22'''.
# Greife die Strecke '''{{Overline|F22}}''' ab und subtrahiere sie vom zehnten Teilungspunkt des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''922'''.
{{--|* '''Beachte:''' Die nächste Stelle des Zählers ist eine '''Null (0)''', deshalb muss der Wert der Zahl '''922''' vom Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''', vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle '''5''', mit dem Faktor <math>\frac{1}{100}</math> verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor <math>\frac{1}{10}</math> stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!}}
# <li value="5">Verbinde den Schnittunkt '''922''' des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''' mit dem Scheitelpunkt '''H''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''922'''.  
# Verbinde den Schnittunkt '''922''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''' mit dem Scheitelpunkt '''I''' des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''0.922'''. Der Wert der Zahl '''922''' vom Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' ist dadurch mit dem Faktor <math>\frac{1}{100}</math> verkleinert.
# Greife die Strecke '''{{Overline|F0.922}}''' ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''50.922'''.
# Verbinde den Schnittpunkt '''50.922''' des Teilerstrahls '''s<sub>4</sub>''' mit dem Scheitelpunkt '''Q''' des Hilfsstrahls '''s<sub>8</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''50.922'''. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt '''N''' des Hilfsstrahls '''s<sub>7</sub>''' oder mit dem Scheitelpunkt '''H''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''' verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl '''s<sub>3</sub>''' haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen ('''s<sub>2</sub>, s<sub>4</sub>''') und Hilfsstrahlen ('''s<sub>7</sub>, s<sub>8</sub>''') in etwa gleichmäßig zu verwenden.
# Greife die Strecke '''{{Overline|K50.922}}''' vom Hilfsstrahl '''s<sub>8</sub>'''  ab und addiere sie zum achten Teilungspunkt des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''850.922'''.
# Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt '''245.850.922''' auf dem Teilerstrahl '''s<sub>4</sub>''' konstruiert ist.
# Greife die Strecke '''{{Overline|E245.850.922}}''' (Zähler) und addiere sie zum Punkt '''A''' des Teilerstrahls '''s<sub>2</sub>''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''W, Zähler'''. Somit ist der Zähler konstruiert.
# Ziehe eine Parallele zur Strecke '''{{Overline|V, NennerT}}''' bis auf den Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''', damit ergibt sich der Schnittpunkt '''B<sub>1</sub>'''. 
# Errichte eine Senkrechte auf den Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''' ab dem Punkt '''B<sub>1</sub>''' bis auf die Mittelachse des Kreises, es ergibt sich der Schnittpunkt '''C<sub>1</sub>'''.
# Halbiere die Strecke '''{{Overline|D<sub>1</sub>C<sub>1</sub>}}''', dabei entsteht der Mittelpunkt '''M<sub>1</sub>'''.
# Zeichne über '''M<sub>1</sub>''' den Thaleskreis ab '''C<sub>1</sub>''', er schneidet die Mittelachse des Kreises in '''E<sub>1</sub>'''. 
# Verbinde den Punkt '''D<sub>1</sub>''' mit dem Punkt '''E<sub>1</sub>''', die Strecke '''{{Overline|D<sub>1</sub>E<sub>1</sub>}}''' entspricht der konstruierten Seitenlänge '''S<sub>QK</sub>''' des gesuchten Quadrates.
# Halbiere die Strecke '''{{Overline|D<sub>1</sub>E<sub>1</sub>}}''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''M<sub>2</sub>'''. 
# Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt '''M<sub>K</sub>''' mit dem Radius '''{{Overline|M<sub>K</sub>M<sub>2</sub>}}'''.
# Konstruiere mithilfe der Seitenlänge '''S<sub>QK</sub>''' um den Mittelpunkt '''M<sub>K</sub>''' und mittels des Hilfskreises mit dem Radius '''{{Overline|M<sub>K</sub>M<sub>2</sub>}}''' das gesuchte Quadrat.
* '''Somit ergibt sich:'''
: {{blau|a) Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der vom gegebenen Kreis.
: b) Eine Strecke {{Overline|AB<sub>1</sub>}} mit einer Länge, die nahezu gleich dem halben Umfang des Kreises ist.|blue}}

==== Berechnung ====
* Allgemein: Seite des Quadrates '''S<sub>Q</sub>''' =  '''r''' •  <math>\mathbf{\sqrt{\pi}}</math> 
* Die Berechnung der konstruierten Seite des Quadrates '''S<sub>QK</sub>''' geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den  Teilerstrahlen '''s<sub>2</sub>''' bzw. '''s<sub>4</sub>'''.
* Der vorgegebene unechte Bruch <math>\frac{245.850.922}{78.256.779}</math> wird auf dem Zahlenstrahl '''s<sub>1</sub>''' {{blau|prinzipiell exakt|blue}} dargestellt.

==== Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates F<sub>S<sub>QK</sub></sub> ====
: <math>
\begin{align}
F_{S_{QK}} &= S_{QK} - \sqrt{\pi}\\
S_{QK}     &= \sqrt{\frac{245.850.922}{78.256.779}} \\
           &=\;\;\;1,77245385090551600524...\\
- \sqrt{\pi} &=-1,77245385090551602729...\\ 
\hline          
S_{QK} - \sqrt{\pi} &=-0,00000000000000002205... \\ 
\end{align}</math>
{{---|<math>F_{S_{QK}}\approx -2,2E-17</math> [LE]}}

==== Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen ====
*Bei einem Kreis mit Radius r = 100 Milliarden km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 91 Stunden) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates S<sub>QK</sub> ≈ 2,2 mm.
*Bei einem Kreis mit Radius r = 100 km wäre der Fehler der Fläche des Quadrates ≈ -0,781 mm<sup>2</sup>

=== Variante 2 ===
==== Näherungskonstruktion ====
[[File:01 Quadratur des Kreises E-11.svg|649px|rechts]]
[[File:01 Quadratur des Kreises E-11 Berechnung-Kathete.gif|650px|rechts]]

Sie beruht auf der Näherung 
:<math>\pi\approx\left(\frac{10}{7}\cdot\sqrt{\frac{46643}{43100}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^2 = 3{,}141\;592\;653\;5{\color{red}94\ldots}.</math>

Nach dem Ziehen des Einheitskreises (<math>r = 1</math> [LE]) werden die x-Achse <math>|AB|</math> und die y-Achse <math>|CD|</math> eingetragen. Es folgen der Kreisbogen <math>BEM</math> und die (nicht eingezeichnete) Mittelsenkrechte zwischen <math>C</math> und <math>E</math> mit Schnittpunkt <math>F</math>. Nun wird das Lot von <math>F</math> auf <math>|AB|</math> mit Fußpunkt <math>G</math> gefällt. Das dadurch erzeugte rechtwinklige Dreieck <math>MGF</math> hat wegen der Hypotenuse <math>\overline{FM} = 1</math> und des Winkels <math>GMF=75^\circ</math> die Katheten <math>\overline{FG} = \tfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}</math> und <math>\overline{MG} =  \tfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}</math>. Die Strecke <math>\overline{FG}</math> wird in <math>H</math> halbiert. Um den oben beschriebenen Ansatz für die Näherung zu erhalten, stellt man sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse <math>\sqrt{\pi}</math> und der kleinen Kathete <math>\overline{KL} = \tfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}</math> vor. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für die große Kathete <math>\overline{JK}</math>
:<math>\overline{JK} = \sqrt{\pi-\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^2} = 1{,}486\;129\;184\;054\;190\ldots\;\Rightarrow</math>
::<math>\;\;\;\approx \frac{10}{7}\cdot\sqrt{\frac{46643}{43100}} = 1{,}486\;129\;184\;05{\color{red}5\;7\ldots}.</math>

Die Länge der Kathete <math>\overline{JK} = \frac{10}{7}\cdot\sqrt{\frac{46643}{43100}}</math> ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar (siehe Animation, gleiches Konstruktions-Prinzip wie in Variante 1). 

Weiter geht es mit dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks anhand der jetzt bekannten Seiten. Hierzu wird zuerst der Punkt <math>H</math> mithilfe einer Parallelen zur x-Achse <math>|AB|</math> auf die y-Achse <math>|CD|</math> projiziert, der Schnittpunkt ist <math>I</math>. Der darauf folgende Kreis mit dem Radius <math>r=\tfrac{5}{7}\cdot\sqrt{\tfrac{46643}{43100}}</math> schneidet die Parallele in <math>J</math> und <math>K</math>. Die Halbgerade ab <math>J</math> durch den Kreismittelpunkt <math>M</math> und die in <math>K</math> errichtete Senkrechte schneiden sich in <math>L</math> und ergeben damit das Dreieck <math>JLK</math>. Der abschließende Kreis mit Radius <math>|MJ|</math> ist der Inkreis des gesuchten Quadrates <math>NOPQ</math>.            

==== Fehler ==== 
'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''<br />
* In GeoGebra konstruierte Seite des Quadrates <math>\overline{A'H_1} = a = 1{,}772453850906837</math> [LE]
* Soll-Seite des Quadrates <math>a_s = \sqrt{\pi}\cdot 1 = 1{,}772453850905516\ldots</math> [LE]
* Absoluter Fehler <math> F = a - a_s = 0{,}000000000001322... = 1{,}322\ldots</math> E-12 [LE]
* Fläche des konstruierten Quadrates <math>A_k = a^2 = 3{,}141592653594478\ldots</math> [FE]
* Soll-Fläche des Quadrates <math>A_s = {\pi}\cdot 1 =  3{,}141592653589793\ldots</math> [FE]
* Absoluter Fehler <math>A_k - A_s = 0,000000000004686\ldots = 4{,}685\ldots</math> E-12 [FE]

'''Verdeutlichung:'''
* 11 Nachkommastellen sind gleich denen von <math> \sqrt{\pi} </math> bzw. 10 Nachkommastellen sind gleich denen von <math> \pi </math>.
* Bei einem Kreis mit dem Radius '''r = 1 Mio. km''' wäre der Fehler der Seite '''a ≈ 1,3&nbsp;mm'''
* Bei einem Kreis mit dem Radius '''r = 1 km''' wäre der Fehler der Fläche '''A ≈ 5&nbsp;mm<sup>2</sup>'''
{{clear}}

=== Weblinks ===
{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}<br>
{{w|Johann Heinrich Lambert}}: [https://books.google.de/books?id=fKhEAAAAcAAJ&pg=PA157&dq=78256779%3A245850922&f=false#v=onepage&q=78256779%3A245850922&f=false ''Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung'' Quadratur des Circuls, S. 157] Abgerufen am 2. Juli 2017.
{{Commons|File:01-Quadratur des Kreises-1.gif|Animation, Quadratur des Kreises}}

==Dreiteilung des Winkels==
* Einleitung und Erklärungen zu "Klassisches Problem", "Verallgemeinerung", "Nicht-klassische Verfahren" u. a. m. sind im Artikel {{w|Dreiteilung des Winkels|Dreiteilung des Winkels}} enthalten. 

=== Variante 1 ===

==== Konstruktionsprinzip ====
* {{blau|Näherungskonstruktion|blue}}
* Den gegebenen Winkel mit vier Winkelhalbierenden verkleinern und den Kreisbogen MFG zwischen Winkelhabierende w<sub>3</sub> und w<sub>4</sub> mit einer Näherungslösung dritteln.

==== Konstruktion für Winkel > 0° bis 180° ====
[[File:01-Dreiteilung des Winkels.svg|800px|rechts]]
* Für Winkel <math> \mathbf{\alpha} </math> '''< 90°''' ist, zur klaren Unterscheidung der Punkte die auf der geraden Hilfslinie '''g''' liegen, meist die Drittelung des Supplementwinkels vorteilhaft. Dies wird im folgenden Beispiel berücksichtigt.
# Zeichne durch den Punkt '''M''' eine Gerade. 
# Zeichne um den Punkt '''M''' einen Halbkreis, es ergeben sich auf der Gerade die Schnittpunkte '''A''' und '''B''', die Strecke '''{{Overline|MA}}''' ist der erste Winkelschenkel.
# Konstruiere eine Senkrechte zur Strecke '''{{Overline|AB}}''' ab Punkt '''M''' bis sie den Halbkreis schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt '''C'''. 
# Konstruiere '''als Beispiel''' den Winkel <math> \mathbf{\alpha}</math> = '''60°''', es ergibt sich der Schnittpunkt '''D''' auf dem Halbkreis '''MAB'''
# Verbinde den Punkt '''M''' mit dem Punkt '''D''', es ergibt sich der zweite Winkelschenkel der mit der Strecke '''{{Overline|MB}}''' den Supplementwinkel <math> \mathbf{\alpha_1}</math> = '''120°''' einschließt. 
# Konstruiere vom Winkel <math>\angle{DMB}</math> die Winkelhalbierende '''w<sub>1</sub>''', es ergibt sich auf dem Halbkreis '''MAB''' der Schnittpunkt '''E'''.  
# Konstruiere vom Winkel <math>\angle{EMB}</math> die Winkelhalbierende '''w<sub>2</sub>''', die Länge der Strecke '''{{Overline|Mw<sub>2</sub>}}''' etwas länger als <math>\mathbf{\frac{1}{2} r}</math> 
# Konstruiere vom Winkel <math>\angle{EMw_2}</math> die Winkelhalbierende '''w<sub>3</sub>''', es ergibt sich auf dem Halbkreis '''MAB''' der Schnittpunkt '''F'''.
# Konstruiere vom Winkel <math>\angle{FMw_2}</math> die Winkelhalbierende '''w<sub>4</sub>''', es ergibt sich auf dem Halbkreis '''MAB''' der Schnittpunkt '''G'''.
# Zeichne eine gerade Hilfslinie '''g''' die über den Punkt '''G''' den Punkt '''F''' anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte '''F''' und '''G''' angelegt), aber mit ihrer Länge, ca. Abstand '''|{{Overline|EF}}|''', nur bis zum Punkt '''G''' verläuft und keine Verbindung der Punkte '''F''' und '''G''' herstellt. Somit ist zwischen diesen beiden Punkten der Halbkreis '''MAB''' für den späteren Schnittpunkt '''J''' frei zugänglich. 
# Zeichne einen Halbkreis um den Punkt '''G''' mit dem Radius gleich dem Abstand '''|{{Overline|FG}}|''', es ergibt sich auf der Hilfslinie '''g''' der Schnittpunkt '''H'''.
# Konstruiere auf der Hilfslinie '''g''' die Strecke '''{{Overline|HI}}''', sie ist ein Drittel der Strecke '''{{Overline|GH}}'''.
# Zeichne einen Kreis um den Punkt '''I''' mit dem Radius gleich der Strecke '''{{Overline|GH}}''', es ergibt sich auf dem Halbkreis '''MAB''' zwischen den Punkten '''F''' und '''G''' der Schnittpunkt '''J'''.
# Verbinde den Punkt '''J''' mit dem Punkt '''M''', die Winkelschenkel '''{{Overline|JM}}''' und '''{{Overline|MB}}''' schließen den Winkel <math> \mathbf{\beta_1} \approx \mathbf{\frac{1}{3}\alpha_1}</math> ein. Somit ist vorerst vom Supplementwinkel '''120°''' ein approximiertes Drittel dargestellt. .
# Halbiere die Strecke '''{{Overline|JM}}''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''K'''.
# Zeichne um den Punkt '''M''' einen Halbkreis der durch den Punkt '''K''' verläuft, es ergeben sich die Schnittpunkte '''L''' und '''N''' auf der Strecke '''{{Overline|AB}}'''. 
# Zeichne um den Punkt '''K''' einen Halbkreis der vom Punkt '''M''' zum Punkt '''J''' verläuft, es ergibt sich der Schnittpunkt '''O''' mit dem Halbkreis '''MNL'''.
# Zeichne eine Gerade vom Punkt '''J''' durch den Punkt '''O''' bis zum Halbkreis '''MAB''', es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''P'''.  
# Verbinde den Punkt '''P''' mit dem Punkt '''M''', die Winkelschenkel '''{{Overline|PM}}''' und '''{{Overline|MA}}''' schließen den Winkel <math> \mathbf{\beta} \approx \mathbf{\frac{1}{3}\alpha}</math> ein.
# Trage die Strecke '''{{Overline|AP}}''' ab dem Punkt '''P''' einmal auf dem Halbkreis '''MAB''' ab, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt '''Q'''. '''Somit ist der Winkel 60° nahezu gedrittelt.'''

==== Fehler ====
* Der max. Winkelfehler von <math> \mathbf{\beta} </math> bzw. <math> \mathbf{\beta_1} </math> ist ca. <math> \mathbf{\pm} </math> '''1,25E-6°''', wenn der Winkel <math> \mathbf{\alpha} </math> nahezu '''0°''' bzw. nahezu '''180°''' ist.

==== Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen ====
* Bei einem Radius r = {{Overline|MA}} = 100 km wäre der max. Fehler an der Sehne <math> \mathbf \approx {\pm}</math> 2,2 mm

==== Berechnung ====
* Im Kapitel "Neuneck", unter "Berechnung" sind zur Verifizierung des Konstruktionsprinzips alle Berechnungsschritte für die Dreiteilung des Winkels (Beispiel <math>\angle{60^\circ}</math>) aufgezeigt. Für die Dreiteilung des oben dargestellten Supplementwinkels 120°, sind in den Formeln die entsprechenden Werte (u. a. Länge des Winkelschenkels ändert sich von 2r in r) und Bezeichnungen (Punkte, Winkel, Strecken etc.) einzusetzen.

=== Variante 2 === 

==== Konstruktionsprinzip ====
* {{blau|Näherungskonstruktion|blue}}
* Ein paar Konstruktionselemente stammen aus ''Alberts' Konstruktion''.
:Mit der stark vereinfachten Konstruktion wird folgendes erreicht:
:*Der größte Teil der Konstruktion liegt in der unteren Hälfte des Kreises <math>k_1.</math> 
:* Eine ''praktikable'' Dreiteilung des Winkels ab nahe <math>0^\circ</math> bis <math>180^\circ.</math>
:* Die Animation (Schrittgröße ca. 3° bis 4°) zeigt alternativ die Konstruktion für Winkel > 0° bis 90° sowie die dazu spiegelbildliche Konstruktion ab 90° bis 180°. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Punkte ohne Beschriftung.
 
==== Konstruktion für Winkel > 0° bis 180° ====
[[File:01 Dreiteilung des Winkels-180°-2.svg|600px|rechts]]
[[File:01 Dreiteilung des Winkels-180°-3.gif|600px|rechts]]
# Kreis <math>k_1</math> mit beliebigem Durchmesser <math>\overline{AB}</math> um Mittelpunkt <math>O.</math>
# Winkelschenkel <math>\overline{OA}</math> und Winkelschenkel <math>\overline{OC}</math> schließen den Winkel <math>\alpha</math> im Scheitel <math>O</math> ein, <math>\overline{OB}</math> und <math>\overline{OC}</math> den Ergänzungswinkel <math>\gamma.</math>
# Kreis <math>k_2</math> um <math>O</math> mit Radius <math>\tfrac{1}{3}\overline{OA}</math>; die Verlängerung des Winkelschenkels <math>\overline{CO}</math> schneidet Kreis <math>k_2</math> in <math>D.</math>
# Durchmesser <math>\overline{EF}</math> mit <math>\angle{EOA=45^\circ}</math> und Verbindung des Punktes <math>D</math> mit <math>E.</math> 
# Punkt <math>G</math> auf Kreis <math>k_2</math> so, dass <math>|EG| = \overline{EO}.</math>
# Strecke <math>\overline{OF}</math> in <math>H</math> halbieren, die anschließende Mittelsenkrechte von <math>|GH|</math> schneidet <math>\overline{OE}</math> in <math>I,</math> ergibt <math>|IG| = \overline{IH}.</math>
# Parallele zu <math>\overline{ED}</math> ab <math>I</math> erreicht Kreis <math>k_2</math> in <math>J.</math>
# Parallele zu <math>\overline{IJ}</math> ab <math>D,</math> Punkt <math>K</math> darauf so, dass <math>\overline{JK}=\overline{JE}.</math>
# Linie ab <math>J</math> durch <math>K</math> erreicht Kreis <math>k_1</math> in <math>L,</math> anschließend Linie ab <math>L</math> bis <math>O.</math>
# Parallele zu <math>\overline{LO}</math> ab <math>D</math> erreicht Kreis <math>k_2</math> in <math>M.</math>
# Strecke <math>\overline{KE}</math> über <math>E</math> hinaus verlängern, Punkt <math>N</math> darauf so, dass <math>\overline{MN}=\overline{MD}.</math>
# Linie ab <math>M</math> durch <math>N</math> erreicht Kreis <math>k_1</math> in <math>P.</math>
# Bestimme Punkt <math>Q</math> so, dass Winkel <math>POQ = 30^\circ,</math> Verbindung <math>Q</math> mit <math>O</math> ergibt den Winkel <math>AOQ = \beta.</math>
# Mittelsenkrechte von <math>|CQ|</math> schneidet <math>k_1</math> in <math>R,</math> verbinde <math>R</math> mit <math>O.</math>
# Bestimme Punkt <math>S</math> so, dass Winkel <math>QOS = 120^\circ.</math>
# Abschließende Verbindung <math>S</math> mit <math>O</math> ergibt Winkel <math>SOB = \delta.</math>

* Der Winkel <math>AOQ=\beta</math> ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels <math>AOC =\alpha.</math>
* Der Winkel <math>SOB = \delta</math> ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels <math>COB =\gamma.</math>

==== Fehlerbetrachtung ====
Eine Fehleranalyse, ähnlich Alberts' Konstruktion, ist nicht vorhanden. 

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten ''dreizehn'' Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels <math>\beta</math> bzw. <math>\delta</math>, sprich, die Differenzwerte aus <math>\frac{\alpha}{3} - \beta</math> bzw. <math>\frac{\gamma}{3} - \delta,</math> werden von GeoGebra stets mit <math>0^\circ</math> angezeigt.

Betrachtet man die Grafik in GeoGebra, in sehr kleinen Schritten, die zu- oder abnehmenden Winkelweiten des Winkels <math>\beta</math> bzw. <math>\delta</math> mithilfe des ''Schiebereglers'' oder der Animation, ist vereinzelt eine max. Abweichung <math>1 \cdot 10^{-13}\mathrm{^\circ}</math> vom SOLL-Wert <math>\frac{\alpha}{3}</math> bzw. <math>\frac{\gamma}{3}</math> ablesbar.

==== Verdeutlichung des absoluten Fehlers ====
Der in GeoGebra ablesbare Differenzwert von max. <math>1\cdot 10^{-13}\mathrm{^\circ}</math> entspricht einem absoluten Fehler <math>F</math> der&nbsp;– nicht eingezeichneten&nbsp;– Sehne <math>|AR|</math> bzw. <math>|BT|,</math> der sich wie folgt ergibt:
:<math>F = 2\cdot \sin \left(\frac{1\cdot 10^{-13}\mathrm{^\circ}}{2} \right)= 0{,}000\;000\; 000\; 000\;001\; 745\ldots = 1{,}745\ldots\cdot 10^{-15}\;[\mathrm{LE}]</math>

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich '''1 Milliarde km''' (das Licht bräuchte für diese Strecke ≈ 56 Minuten, das ist etwas weniger als 7-mal die Entfernung Erde – Sonne), wäre der absolute Fehler der beiden&nbsp;– nicht eingezeichneten&nbsp;– Sehnen <math>|AR|</math> bzw. <math>|BS|</math> '''≈ 1,7 mm'''.
{{clear}}

=== Weblinks ===
[[Planimetrie/_Polygonkonstruktionen/_Neuneck#Neuneck_(Nonagon)| Neuneck]] in diesem Buch

{{w|Winkel|Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel}}

[[Planimetrie/ Verschiedenes/_Dreiteilung_einer_Strecke| Dreiteilung einer Strecke]] in diesem Buch

[[Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 1#Dreiteilung_des_Winkels_60°| Dreiteilung des Winkels 60°]] in diesem Buch

{{Commons|File:01-Trisection of angle E-10 Animation.gif|Dreiteilung des Winkels mit 5 Wh}}

{{w|Dreiteilung_des_Winkels#Näherung_für_Winkelweiten_größer_0°_bis_90° |Alberts' Konstruktion: Näherung für Winkelweiten größer 0° bis 90°, mit Fehleranalyse}}

{{w|Lichtgeschwindigkeit}}

* [https://www.geogebra.org/m/FQJqvSGA Dreiteilung des Winkels, Prinzip Linse]

==Verdoppelung des Würfels==
Eine relativ einfache Näherungskonstruktion, aber mit einer ebenfalls außergewöhnlichen Genauigkeit ist im Folgenden beschrieben. 
* Einleitung, Erklärung und Weiterführungen sind im Artikel {{w|Würfelverdoppelung}} enthalten.
<div style="float:right;">[[File:01 Würfelverdoppelung-5.gif|450px|rechts]]</div><div style="float:right;">[[File:01 Würfelverdoppelung-5.svg|450px|rechts]]</div>
* <math>a_1</math> ist die Kantenlänge des Ausgangswürfels, <math>a_2</math> die des verdoppelten Würfels

=== Konstruktionsbeschreibung === 
Es beginnt mit dem Einheitskreis mit Radius <math>\overline{OA} = 1 = a_1</math> und dem Einzeichnen des Durchmessers <math>\overline{AB}</math>. Als nächstes wird die zum Durchmesser <math>\overline{AB}</math> senkrecht stehende Mittelachse <math>\overline{CD}</math> eingetragen. Es folgt jeweils ein Kreisbogen mit Radius <math>\overline{OA}</math> um <math>A</math> und <math>B</math>; die Schnittpunkte sind <math>E, E'</math> und <math>F, F'</math>. Eine nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte des Abstandes <math>|E'D|</math> halbiert den Kreisbogen <math>OE'D</math> in <math>G</math>. Eine Parallele zu <math>\overline{AB}</math> ab <math>G</math> ergibt die Strecke  <math>\overline{GH}</math>. Den Punkt <math>I</math> bestimmt man mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes <math>|HF'|</math>.

Weiter geht es mit dem Übertragen des Abstandes <math>|IF'|</math> ab <math>E</math>, dabei ergibt sich der Schnittpunkt  <math>J</math>. Eine Parallele zu <math>\overline{AB}</math> ab <math>J</math> ergibt die Strecke <math>\overline{JK}</math>. Der Punkt <math>L</math> wird mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes <math>|KF|</math> bestimmt.  Die abschließende Verbindung des Punktes <math>A</math> mit <math>L</math> schneidet <math>\overline{OC}</math> in <math>M</math> und liefert somit die Strecke <math>\overline{AM}</math>, deren Länge nahezu gleich dem Sollwert <math>\sqrt[3]{2}</math> ist.

=== Fehler ===
In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.
:<math>\begin{alignat}{2} 
 \text{in GeoGebra konstruierte Länge der Strecke } \qquad \overline{AM} &=  &&1{,}259921049894873\;[\mathrm{LE}] \\ 
 -\text{Sollwert } \qquad -\sqrt[3]{2} &= -&&1{,}259921049894873\dots\;[\mathrm{LE}] \\
 \hline
 \text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar } \qquad     F &=  &&0{,}000000000000000\dots\;[\mathrm{LE}]
\end{alignat}</math>

=== Beispiel zur Verdeutlichung der Fehler ===
* Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge '''a<sub>1</sub> = 1 Mrd. km''' (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min.) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge '''a<sub>2</sub>''' des verdoppelten Würfels 2 kein Fehler  evaluierbar.<br />
: Somit liegt die Vemutung nahe, dass der absolute Fehler '''< 1&nbsp;mm''' ist.
* Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge '''a<sub>1</sub> = 10 km''' wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 vermutlich '''< 0,7&nbsp;dm<sup>3</sup>''' oder '''< 1''' &nbsp;Liter.

=== Weblinks ===
* {{Commons|File:01-Würfelverdoppelung-1.gif|Animation, Verdoppelung des Würfels}}
* {{w|Quadrat#Konstruktion| Quadrat}}
* {{w|GeoGebra}}
* {{w|Einheitskreis}}
* {{w|Mittelsenkrechte}}
* {{w|Messabweichung}}


<noinclude>{{AutoNavigation}} </noinclude>