Quelltext der Seite Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Geometrie des Raums

{{:Mathematrix: Vorlage: Oben}}
<onlyinclude>
=== Grundbegriffe ===
==== Dimension ====
Wir haben schon in der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene|Geometrie der Ebene]] den Begriff der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene#Strecke|Strecke]] als auch verschiedene [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene#Figuren|Figuren auf einer ebenen Fläche]] (z.B. Quadrat, Kreis, Dreieck, Rechteck) kennengelernt. Für eine Strecke braucht man nur die Länge angeben (z.B. 2,4dm), dann hat man sie vollständig beschrieben. Alle Strecken mit dieser Länge sind die gleiche Sache (man sagt in Mathematik: Sie sind Kongruent).

[[File:RechteckGleichLang.svg|upright=0.6|left|thumb|Verschiedene Rechtecke</br >mit gleicher Länge</br >und anderer Breite]]
Bei einem Rechteck hingegen reicht die Länge nicht aus. Es gibt unendlich viele Rechtecke mit der gleichen Länge und eine andere Breite. Diese Rechtecke sind nicht mehr die gleiche Sache. Sie haben auch einen anderen Flächeninhalt. Sie sind nicht kongruent. Man braucht daher bei Flächen zwei Zahlen, die Abstände beschreiben, beim Rechteck ist das die Länge und die Breite.

[[Datei:Cuboid abcd.svg|mini|Quader mit Raumdiagonale&nbsp;d]]
Wenn man jetzt eine Figur im Raum betrachtet, z.B. einen Quader, dann reichen die Länge und die Breite wieder nicht aus. Da braucht man noch einen Abstand, die Höhe. Wenn die Höhe anders ist, dann ist auch das Volumen anders.

<big>'''''Die Anzahl der Abstandswerte, die man braucht, um eine Figur vollständig zu beschreiben, nennt man Dimension.'''''</big><ref><sub>Allerdings wird in der Physik nicht nur der Abstand, sondern auch andere Größen als Dimensionsgrundlagen benutzt, z.B. ist in der Relativitätstheorie die Zeit eine vierte Dimension der sogenannten [[w:Raumzeit|''Raumzeit'']]</sub></ref> 

Eine Strecke ist eine eindimensionale Figur: Allein ein Abstand (die Länge), reicht aus, um sie zu beschreiben. Ein Rechteck (und alle ebene Figuren) ist eine zweidimensionale Figur: Man braucht zwei Abstände (Länge und Breite), um sie zu beschreiben. Ein Quader (und alle Figuren, die Raum besetzen) ist eine dreidimensionale Figur: Man braucht drei Abstände (Länge, Breite und Höhe), um sie zu beschreiben. In unserem Bild eines Quaders wird die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet.

Obwohl wir Menschen uns nicht mehrere Dimensionen vorstellen können, gibt es in der Physik theoretische Modelle, die noch mehrere Dimensionen haben. Beispielsweise setzt die [[w:allgemeine Relativitätstheorie|allgemeine Relativitätstheorie]] die Zeit als eine weitere Dimension des sogenannten Zeitraums voraus! Die [[w:M-Theorie|Stringtheorie]] kann sogar 11 Dimensionen voraussetzen!

<references/>

==== Körper ====
Ein Gegenstand in der Geometrie wird [[w:Körper_(Geometrie)|Körper]] genannt, wenn für seine Beschreibung drei Abstände [[w:Notwendige_und_hinreichende_Bedingung|notwendig und hinreichend]] sind.

'''''Notwendig''''' bedeutet, dass weniger Abstände nicht genügend sind, um den Körper zu beschreiben. Man kann nicht einen Quader nur mit Länge und Breite vollständig beschreiben. 

'''''Hinreichend''''' bedeutet, dass man nicht mehrere Abstände oder eine andere Dimension für die Beschreibung braucht. Wenn die Länge, die Breite und die Höhe des Quaders gegeben sind, braucht man nicht auch die [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Ecke_und_Raumdiagonale|Raumdiagonale]] angeben (sie wird schon von den anderen drei Abständen bestimmt).

Jede dreidimensionale Figur ist ein (geometrischer) Körper. In diesem Text wird auch das Wort „Raumfigur“ dafür benutzt.

==== Kante ====
Im Kapitel über die Geometrie der Ebene haben wir den Begriff der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene#Seite_und_Diagonale|Seite einer ebenen Fläche]] gesehen. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich, bei einem Rechteck gibt es eine Länge und eine Breite. Die Strecken am Rand einer ebene Figur wurden also Seiten genannt.

'''''Die Strecken am Rand eine Raumfigur werden''''' aber doch <big>'''Kanten'''</big> '''''genannt'''''. Das Wort „'''''Seite'''''“ wäre in diesem Fall verwirrend: man wüsste dann nicht, ob mit „''Seite''“ die Seiten'''''fläche''''' oder die Seiten'''''strecke''''' gemeint ist. Daher benutzt man das Wort „Kante“ für die Strecken.  In unserem Bild eines Quaders wird die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet. a,b und c sind daher Kanten des Quaders. Es gibt in diesem Bild 4 Kanten, die so lang wie a sind, 4 Kanten, die so lang wie b sind, und 4 Kanten, die so lang wie c sind.

Für die ebenen Flächen, die die Figur begrenzen, benutzt man die Worte „Grundfläche“, „Seitenfläche“ und „Deckfläche“. Es gibt selbstverständlich auch Raumfiguren, die von keinen ebenen Flächen begrenzt werden, wie beispielsweise die Kugel.

==== Ecke und Raumdiagonale ====
[[Datei:Cuboid abcd.svg|frameless|right|x55px|]]Den Punkt, wo drei Grenzflächen aufeinander treffen, nennt man Ecke (Eckpunkt). Die Strecke zwischen zwei Eckpunkten, die nicht auf der gleichen Grenzfläche liegen, nennt man Raumdiagonale (mit d im Bild des Quaders bezeichnet).

==== Oberfläche ====
<section begin="RaumOberFl" />Die Grenze einer Raumfigur ist eine Fläche, '''''Oberfläche''''' genannt (in diesem Buch werden wir allerdings das Wort '''''Grenzfläche''''' dafür benutzen). Diese kann aus mehreren ebenen Flächen bestehen, wie bei einem Quader oder einer Pyramide, oder auch eine runde Fläche im Raum sein, wie bei einer Kugel, einem Zylinder oder einem Kegel. Wenn die Grenzfläche der Figur ebene Flächen beinhaltet, dann wird zwischen Grundfläche und Seitenflächen unterschieden.<section end="RaumOberFl" />

===== Grundfläche =====
[[Datei:Pyramide5.png|350px|right|Pyramide]]
'''''Grundfläche''''' ist die Fläche, die im Bild unten (am Grund) steht. Bei Figuren deren Grenzflächen alle die gleiche Form haben (wie z.B. in einem Quader, wo alle Grenzflächen Rechtecke sind), kann jede beliebige Fläche der Figur als Grundfläche benutzt werden. 

Wenn es eine Grenzfläche gibt, die sich von den anderen unterscheidet (wie z.B. bei der Pyramide in unserem Bild: alle Flächen außer einer sind Dreiecke), dann wird i.d.R. diese Fläche als Grundfläche bezeichnet.

{{Anker|Spitze}}Wenn es eine Grundfläche gibt, dann kann ihr gegenüber nur ein Punkt oder eine ganze Fläche stehen. Wenn ihr gegenüber eine ganze Fläche steht, dann nennt man diese Fläche '''''Deckfläche''''' (da sie an der „Decke“ ist). Die Deckfläche kann auch rund sein. Wenn der Grundfläche gegenüber nur ein Punkt liegt (wie in der Pyramide am Bild), dann nennt man diesen Punkt '''''Spitze'''''.

===== Seitenfläche und Mantel =====

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann nennt man jede der restlichen Flächen '''''Seitenfläche''''' (außer der Deckfläche, wenn es eine gibt). Alle Seitenflächen zusammen nennt man '''''Mantel'''''. Der Mantel kann allerdings auch aus runden und nicht nur ebenen Flächen bestehen, wie z.B. in einem [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Zylinder|Zylinder]] (der auch eine Deckfläche hat, die ebenfalls ein Kreis ist) oder einem [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Kegel|Kegel]] (der keine Deckfläche hat, dafür eine Spitze).

===== Körpernetz =====
<gallery>
File:Foldable hexahedron (coloured).svg|Netz eines [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Würfel|Würfel]]s
Bild:QuaderNetz.svg|Netz eines [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Quader|Quader]]s
Bild:Koerpernetz dreieckiges Prisma.png|Netz eines [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Prisma|Prismas]]
Bild:ZylinderNetz.svg|Netz eines [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Zylinder|Zylinders]]
Bild:KegelNetz.svg|Netz eines [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Kegel|Kegels]]
</gallery>

Wenn man die Grenzflächen eines Körpers abwickelt, so dass eine (komplizierte) ebene Figur entsteht, dann nennt man diese ebene Figur Körpernetz (oder einfach Netz). Das ist immer möglich, wenn die Grenzflächen ebene Figuren sind, allerdings nicht  immer, wenn die Grenzflächen rund sind. Das ist möglich bei einem [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Quader|Quader]], einem [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Zylinder|Zylinder]] oder einem [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Kegel|Kegel]] aber nicht möglich bei einer Kugel oder einem [[w:Torus|Torus]].

==== Gerade und schiefe Körper ====
<gallery>
Datei:Right and not-right prism.svg|upright=1.6|A: gerades Prisma</br >B: schiefes Prisma
Datei:Pyramid altitude.JPG|Gerade Pyramide
Datei:Oblique pyramid altitude.JPG|Schiefe Pyramide
File:Cone (h,r).jpg|Gerader Kegel
File:Slate cone with sections.svg|Schiefer Kegel
</gallery>
Wenn es bei einem Körper eine Grundfläche gibt, dann gibt es gegenüber entweder eine Fläche oder einen Punkt. Wenn der gegenüberliegende Punkt oder der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche direkt oberhalb (also senkrecht nach oben) vom Mittelpunkt der Grundfläche liegen, dann sagt man, dass der Körper gerade ist, sonst dass er schief ist.

=== Raumfiguren ===
==== Würfel ====
<gallery>
Datei:01-Würfel-Parallelperspektive.svg|Würfel
File:Foldable hexahedron (coloured).svg|Würfelnetz
File:Dice (11015609).jpg|Spielwürfel
</gallery>

''<big>Definition</big>''

''Eine geschlossene Raumfigur, deren Grenzfläche aus 6 kongruente („gleiche“) Quadrate besteht, nennt man '''Würfel'''.'' 

<big>''Formeln''</big>

Mit <math>a</math> wird die Länge der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Kante|Kante]] bezeichnet.

'''''Volumen''''': <math>V=a^3</math>

'''''Oberfläche''''': <math>A_O=6a^2</math>

'''''Kantensumme''''': <math>K=12a</math>

'''''Raumdiagonale'''''(rot im Bild): <math>d_R=\sqrt3 \ a</math>

'''''Flächendiagonale'''''(grün im Bild): <math>d_F=\sqrt2 \ a</math>

==== Quader ====
<gallery>
Datei:Cuboid abcd.svg|Quader
Bild:QuaderNetz.svg|Netz eines Quader
File:Brick.jpg|Eine quaderförmige</br >Mauerziegel
</gallery>

''<big>Definition</big>''

''Eine geschlossene Raumfigur, deren Grenzfläche aus 3 Paare paarweise kongruente („gleiche“) gegenüberliegende Rechtecke besteht, nennt man Quader.'' 

''<big>Formeln</big>''

Mit <math>a</math> wird hier die Länge, mit <math>b</math> die Breite und mit <math>c</math> die Höhe bezeichnet (wie im Bild). 

'''''Volumen''''': <math>V=abc</math>

'''''Oberfläche''''': <math>A_O=2ab+2ac+2bc</math>

'''''Kantensumme''''': <math>K=4a+4b+4c</math>

'''''Raumdiagonale''''':<math>d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>

'''''Flächendiagonalen''''': <math>d_{F1}=\sqrt{a^2+b^2}</math>, &nbsp;<math>d_{F2}=\sqrt{a^2+c^2}</math>, &nbsp;<math>d_{F3}=\sqrt{b^2+c^2}</math>

==== Prisma ====
<gallery>
File:Hexagonales_Prisma.png|Prisma
File:Prism-6 net.png|Prismanetz
File:Dispersion prism.jpg|Optisches Prisma
</gallery>

''<big>Definition</big>''

''Eine geschlossene Raumfigur, die durch Parallelverschiebung eines ebenen Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht, nennt man Prisma. Die Höhe ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.''

<big>''Formeln''</big>

Es gibt viele verschiedenen Prismen, daher sollte man dafür die [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Volumen-_und_Oberflächenregeln|allgemeineren Formeln]] benutzen, die sich am Ende dieses Teilkapitels befinden.

==== Pyramide ====
<gallery>
File:Polyhedron (PSF).png|Pyramide
File:Развёртка правильной пятиугольной пирамиды.TIF|Pyramidennetz
File:Piramida Dzesera.jpg|Einer der ältesten</br >bekannten Pyramiden
File:Pirámide de los nichos.JPG|Maya Pyramide
</gallery>

''<big>Definition</big>''

Wenn man alle Punkte des Umfangs eines Vieleckes mit einem Punkt  (genannt „Spitze“ oder „Scheitel“) außerhalb der Ebene des Vieleckes verbindet, dann entsteht die Grenzfläche einer Pyramide. Das Vieleck bildet dann i.d.R. die Grundfläche, die Dreiecke, die durch die Verbindung des Punktes mit dem Umfang entstehen, sind dann die Seitenflächen. Höhe ist der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche.

<big>''Formeln''</big>

Es gibt viele verschiedenen Pyramiden, daher sollte man dafür die [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Volumen-_und_Oberflächenregeln|allgemeineren Formeln]] benutzen, die sich am Ende dieses Teilkapitels befinden.

==== Zylinder ====
<gallery>
File:Cylinder geometry.svg|Zylinder
Bild:ZylinderNetz.svg|Zylindernetz
File:Chapeauclaque.png|Ein klappbarer (fast) zylinderförmiger Hut
</gallery>

''<big>Definition</big>''

''Eine geschlossene Raumfigur, die durch Parallelverschiebung einer ebenen runden Figur (z.B. eines Kreises  oder einer Ellipse) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht, nennt man allgemeinen Zylinder. Das Wort Zylinder allein wird i.d.R. für den Körper benutzt, der durch  Parallelverschiebung eines Kreises entsteht. Die Höhe ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.''

''<big>Formeln</big>'' (für einen geraden Kreiszylinder)

Mit <math>h</math> wird hier die Höhe, mit <math>r</math> der Radius der Grundfläche <math>\ A_G\ </math> bezeichnet (wie im Bild), <math>\ A_M\ </math> ist die Mantelfläche:

'''''Volumen''''': <math>V=\pi r^2 \ h</math>

'''''Oberfläche''''': <math>A_O=2\ A_G+ A_M= 2 \pi r^2 + 2 \pi r \ h= 2 \pi r(r+h)</math>

==== Kegel ====

<gallery>
File:Cone (h,r).jpg|Gerader Kegel
Bild:KegelNetz.svg|Kegelnetz
File:Bowling-pins.jpg|Spielkegel <ref><small>(die allerdings '''nicht''' die Form eines Kegels haben...)</small></ref>
</gallery>
<references/>

''<big>Definition</big>''

''Wenn man alle Punkte des Umfangs einer runden ebenen Figur mit einem Punkt (genannt „Spitze“ oder „Scheitel“) außerhalb der Figurebene verbindet, entsteht die Grenzfläche eines (allgemeinen) Kegels. Die runde Figur ist dann die Grundfläche und die Fläche, die durch die Verbindung des Punktes mit dem Umfang entsteht, ist der Mantel. Wenn die runde ebene Figur ein Kreis ist, dann spricht man von einem Kreiskegel (in der Schulmathematik oft einfach Kegel genannt). Höhe ist der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche. Mit s bezeichnet man die „Mantellinie“ bei einem geraden Kegel.''

<big>''Formeln''</big> (für einen geraden Kegel)

Mit <math>h</math> wird hier die Höhe, mit <math>r</math> der Radius der Grundfläche <math>\ A_G\ </math> bezeichnet (wie im Bild), <math>\ A_M\ </math> ist die Mantelfläche:

'''''Volumen''''': <math>\textstyle V=\frac{1}{3}\pi r^2 \ h</math>

'''''Oberfläche''''': <math>A_O=A_G+ A_M= \pi r^2 + 2 \pi r \ s= \pi r(2r+s)</math>

<small>(wobei s die sogenannte „Mantellinie“ <math>s=\sqrt{r^2+h^2}</math> ist)</small>

==== Kugel ====

<gallery perrow="4">
File:Espera radial 2.svg|Kugel
File:Sphere wireframe.svg|Kugel mit [[w:Längenkreis|Längen-]] und [[w:Breitenkreis|Breitenkreis]]en
File:Azimutalprojektion-schief kl.jpg|Die Erde mit [[w:Längenkreis|Längen-]] und [[w:Breitenkreis|Breitenkreis]]en
File:JM marbles 01.jpg|Kugelförmige Murmeln
File:Projektile 9bzw7,62mm.JPG|Gewehrkugel<ref><small>(die allerdings '''nicht''' kugelförmig sind)</small></ref>
File:Basketball.png|Ein kugelförmiger Basketball
File:Goode homolosine projection SW.jpg|[[w:Flächentreue|Flächentreue]] [[w:Kartennetzentwurf|Projektion der Erde]]<ref><small>(die allerdings nicht [[w:Winkelverzerrung#Winkeltreue|winkeltreu]] ist)</small></ref>
</gallery>
<references/>

Für einen Kugel kann man nicht ein Netz auf einer Ebene zeichnen (nur näherungsweise), was der berühmte Mathematiker und Physiker [[w:Carl_Friedrich_Gauß|Carl Friedrich Gauß]] [[w:Theorema_egregium|bewiesen hat]].

''<big>Definition</big>''

''Eine Raumfigur mit einer Grenzfläche, deren Punkte alle von einem Punkt in der Mitte der Raumfigur (Mittelpunkt genannt) den gleichen Abstand haben (Radius genannt), nennt man Kugel.''

<big>''Formeln''</big>

Mit <math>r</math> wird der Radius bezeichnet (wie im Bild).

'''''Volumen''''': <math>\textstyle V=\frac{4}{3}\pi r^3 </math>

'''''Oberfläche''''': <math>A_O=4\pi r^2</math>

==== Die platonischen Körper ====

{|
|<span class="noprint">
<gallery caption="Die fünf platonischen Körper und ihre Netze">
File:Tetraeder-Animation.gif
File:Cube Animation.gif
File:Oktaeder-Animation.gif
File:Dodekaeder-Animation.gif
File:Ikosaeder-Animation.png
</gallery>
</span><includeonly>
<gallery caption="Die fünf platonischen Körper und ihre Netze">
File:Tetrahedron.svg
File:Hexahedron.svg
File:Octahedron.svg
File:Dodecahedron.svg
File:Icosahedron.svg
</gallery></includeonly>
|-
|
<gallery>
Datei:Tetrahedron flat.svg|Tetraeder
Datei:Hexahedron flat color.svg|Würfel<ref><small>(auch Hexaeder genannt)</small></ref>
Datei:Octahedron flat.svg|Oktaeder
Datei:Dodecahedron flat.svg|Dodekaeder
Datei:Icosahedron flat.svg|Ikosaeder
</gallery>
|}
<references/>

Die  [[w:Platonischer_Körper#Übersicht|platonischen Körper]] sind Raumfiguren, dessen Grenzflächen kongruent („gleich“) zueinander regelmäßige Vielecke sind. Man hat schon in Altertum bewiesen, dass es genau 5 davon gibt: der [[w:Würfel_(Geometrie)|Würfel]], den wir schon [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Würfel|gelernt haben]] (mit 6 Quadrate als Grenzflächen), das [[w:Tetraeder|Tetraeder]] (mit vier gleichseitigen Dreiecke als Grenzflächen), das [[w:Oktaeder|Oktaeder]] (mit acht gleichseitigen Dreiecke als Grenzflächen), das [[w:Dodekaeder|Dodekaeder]] (mit zwölf regelmäßigen Fünfecke als Grenzflächen) und das [[w:Ikosaeder|Ikosaeder]] (mit zwanzig  gleichseitigen Dreiecke als Grenzflächen). Da alle Grenzflächen kongruent sind, kann man nicht durch irgendein Merkmal eine Fläche von der anderen  oder eine Kante von den andern unterscheiden. Wegen dieser und anderer Eigenschaften haben diese Körper die Philosophen und Wissenschaftler seit der antiken Zeit interessiert.

Eine schöne Animation der Körper und ihrer Körpernetze findet man [[commons:Category:Set_of_Platonic_solids;_desarrollo|hier]]!<ref><small>(Vorsicht:dieses Link kann den Browser bei alten Computer verlangsamen)</small></ref>
<references/>

==== Andere Figuren ====

<gallery>
File:Torus1.png|Torus
File:Hemisphere.svg|Halbkugel
File:Ellipsoid 3d.jpg|Ellipsoid
File:Paraboloid.png|Paraboloid
</gallery>

Selbstverständlich gibt es unendlich viele anderen Raumfiguren, hier erwähnen wir noch den [[w:Torus|Torus]], die Halbkugel, die [[w:Ellipsoid|Ellipsoiden]] und die [[w:Paraboloid|Paraboloiden]].

==== Volumen- und Oberflächenregeln ====
Für alle Körper, die eine Grund- und eine (parellele zur Grundfläche) kongruente („gleiche“) Deckfläche haben, gilt, dass das Volumen <math>\ V\ </math>die Grundfläche <math>\ A_G\ </math>mal die Höhe <math>\ h\ </math> ist:

<math>V=A_G \cdot h</math>

Genauer formuliert gilt diese Regel für alle Körper, die durch Parallelverschiebung einer ebenen Fläche entstehen. Für diese Körper gilt dann, dass die Mantelfläche &nbsp;<math>A_M</math>&nbsp; die Summe deren Teilflächen ist und die gesamte Oberfläche <math>\ A_O=A_M+2A_G</math>. Für die Teilflächen sollte dann man die Formeln aus der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene|Geometrie der Ebene]] benutzen.



Für alle Körper, die eine Grundfläche <math>A_G\ </math>und eine gegenüber liegende Spitze haben, gilt, dass das Volumen ein drittel des Produkts der Grundfläche und der Höhe <math>\ h\ </math> ist:

<math>\textstyle V=\frac{1}{3}A_G \ h</math>

Genauer gesagt muss dazu gelten, dass die Abstände zwischen Spitze und den Punkten auf dem Umfang der Grundfläche gerade sein sollen. Für diese Körper gilt dann, dass die Mantelfläche &nbsp;<math>A_M</math>&nbsp; die Summe deren Teilflächen ist und die gesamte Oberfläche <math>\ A_O=A_M+A_G\ </math>. Für die Teilflächen sollte dann man die Formeln aus der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene|Geometrie der Ebene]] benutzen.

=== Intuitiver Beweis der Formel des Volumens des Quaders ===

{|
|[[File:VolumBeweis1.svg|1 cm³]]
|[[File:VolumBeweis2.svg|Quader 3x2x2]]
|}

'''''1 cm³''''' (auch „Kubikzentimeter“ genannt, Bild links) '''''ist ein Würfel, dessen Kante 1cm ist'''''.

{{Anker|Kubik}}Das Wort „Kubik“ stammt aus dem griechischen Wort für Würfel. Als Hochzahl bedeutet „Kubik“ hoch 3, also Kubikzentimeter (cm³), Kubikmeter (m³) usw.

Wie man jetzt im Bild rechts sehen kann, wenn man einen Quader hat, dessen Länge 3cm, dessen Breite 2cm und dessen Höhe 2cm ist, dann beinhaltet dieser Quader 12 Würfel, je 1cm³, also ist das Volumen 12cm³. Man kann daraus folgen, dass das Volumen eines Quaders allgemein die Länge mal die Breite mal die Höhe ist:

<math>V=a\cdot b\cdot c</math>

=== Raumgeometrie Formelanwendung ===
==== Formel Einsetzen in der Raumgeometrie ====
{{#lsth:Mathematrix:_Werkzeuge/_Links|Formel Einsetzen in der Raumgeometrie}}[[File:Holzlineal-1.jpg|thumb|left|Holzlineal]]
[[Datei:Cuboid abcd.svg|thumb|left|Quader]]
'''''Die Länge eines Lineals ist 3,1 dm, seine Breite 2,5 cm, seine Dicke 2 mm. Berechnen sie die Gesamtlänge seine Kanten, seine Oberfläche und sein Volumen!'''''

Wie wir in der Geometrie der Ebene [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene#Einsetzen|schon gelernt haben]], kann man in solchen Aufgaben das Volumen durch Einsetzen berechnen. Von der Aufgabe kann man schon erschließen, dass das Lineal die Form eines [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Quader|Quaders]] hat. Hier benutzt man das Wort „Dicke“ anstatt „Höhe“, also wird für diese Dimension ein anderer Name benutzt. Man kann also die Formeln, die in der [[Mathematrix: MA TER/ Formelsammlung Geometrie|Formelsammlung]] für den Quader stehen, benutzen:

'''''Volumen''''': <math>V=abc</math>

'''''Oberfläche''''': <math>A_O=2ab+2ac+2bc</math>

'''''Kantensumme''''': <math>K = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c) </math>

<small>(Mit <math>a</math> wird hier die Länge, mit <math>b</math> die Breite und mit <math>c</math> die Dicke bezeichnet)</small> 

Wie aber schon im entsprechenden Kapitel erwähnt, muss man davor warnen, falschen Einheiten anzuwenden! Die Einheiten muss man erst überprüfen und, wenn notwendig, umwandeln. Das ist in dieser Aufgabe schon der Fall:

<math>a=3{,}1\,\mathrm{dm}\quad b = 2{,}5\,\mathrm{cm}\quad c = 2\,\mathrm{mm}</math>

Wir können alle drei Längenwerte '''''entweder''''' in ''dm'' '''''oder''''' in ''cm'' '''''oder''''' in ''mm'' benutzen. Lass uns hier alle in mm berechnen (wie wir es Kapitel über [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Einheiten|Einheiten]] gelernt haben):

<math>a = 3{,}1\,\mathrm{dm} = 310\,\mathrm{mm}\quad b = 2{,}5\,\mathrm{cm} = 25\,\mathrm{mm}\quad c = 2\,\mathrm{mm}</math>

Erst jetzt können wir diese Werte in die Formel einsetzen:

Volumen: <math>V = abc = 310\,\mathrm{mm} \cdot 25\,\mathrm{mm} \cdot 2\,\mathrm{mm} = 15500\,\mathrm{mm^3}</math>

Oberfläche: <math>{A_O = 2ab+2ac+2bc = 2 \cdot 310\,\mathrm{mm} \cdot 25\,\mathrm{mm} + 2 \cdot 310\,\mathrm{mm} \cdot 2\,\mathrm{mm} + 2 \cdot 25\,\mathrm{mm} \cdot 2\,\mathrm{mm} = 16840\,\mathrm{mm^2}}</math>

Kantensumme: <math>K = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c) = 4(310\,\mathrm{mm} + 25\,\mathrm{mm} + 2\,\mathrm{mm}) = 1348\,\mathrm{mm}</math>

==== Umformen in der Raumgeometrie konkret ====
{{#lsth:Mathematrix:_Werkzeuge/_Links|Umformen in der Raumgeometrie konkret}}

Bei manchen Aufgaben muss man die Formel umformen (wie bei der [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_der_Ebene#Umformen_in_der_Geometrie|Geometrie der Ebene]]), z.B.:

[[File:Cylinder geometry.svg|thumb|left|upright=0.4|Zylinder]]
''Das Volumen eines (geraden) Zylinders ist 530cm³, seine Höhe 70mm. Wie viel ist seine Fläche?''

In der [[Mathematrix: MA TER/_Formelsammlung_Geometrie|Formelsammlung]] findet man die Formel für die Fläche:

Oberfläche: <math>A_O=2\pi\ r^2 + 2\pi\ r\ h</math> 

Wenn man die Formel betrachtet, findet man schon das Symbol <math>h</math> für die Höhe. Diese aber reicht nicht für die Berechnung des Volumens aus! Man braucht auch den Radius <math>r</math> der Grundfläche. Daher wendet man sich an den anderen Vorgaben der Aufgabe. Dort findet man den Wert nicht nur für die Höhe, sondern auch fürs Volumen <math>V</math>.

'''Wir fangen mit der Formel die gegeben ist an.'''

Hier ist die Formel fürs Volumen gegeben:

<math>V=\pi r^2 h</math>

Die Werte sowohl fürs Volumen als auch für die Höhe sind zwar gegeben, müssen allerdings '''übereinstimmen'''. Wir rechnen erst die 70 mm in cm um (siehe Kapitel [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Einheiten#Einheiten umrechnen|„Einheiten umrechnen“]]): <math>h=70mm=7cm</math>

<math>\textstyle \begin{align}V & =\pi r^2 h && \ \\ 530 & =\pi \cdot r^2 \cdot 7 &&  |:(7\pi)\\  \frac{530}{7\pi}&=r^2 && \ \\ 24,1 &\approx r^2 && |\sqrt{\ \ } \\  r \approx\sqrt{24,1} & \approx 4,91\ cm \end{align}</math>

Jetzt können wir leicht die Oberfläche berechnen, indem wir die entsprechende Formel anwenden:

<math>A_O= 2\pi r (r+h)= 2\pi \cdot 4,91 \cdot (4,91+7) \approx 366,4\ cm^2</math>

==== Umformen in der Raumgeometrie abstrakt ====
{{#lsth:Mathematrix:_Werkzeuge/_Links|Umformen in der Raumgeometrie abstrakt}}

{{#lst:Mathematrix:_MA_TER/_Theorie/_Geometrie_der_Ebene|UmformenGeometrie}} Hier zwei Beispiele aus der Raumgeometrie:

*'''''Radius der Basis eines Zylinders durch das Volumen ausdrücken''''' (und daher auch durch die Höhe).
Hier fangen wir mit der in der [Mathematrix: MA TER/_Formelsammlung_Geometrie|Formelsammlung]] gegebenen Formel fürs Volumen des Zylinders an und formen wir diese um, bis der Radius allein auf einer Seite steht:

<math>\textstyle \begin{align}V & =\pi r^2 h && \quad |:(\pi h)\\ \frac{V}{\pi h}&=r^2 &&\quad  |\sqrt{\ \ }\\  r & =\sqrt{\frac{V}{\pi h}} \end{align}</math>

*'''''Mantellinie eines Kegels durch seine Oberfläche ausdrücken'''''
(und daher auch durch den Radius der Basis). Hier fangen wir mit der in der [Mathematrix: MA TER/_Formelsammlung_Geometrie|Formelsammlung]] gegebenen Formel für die Oberfläche des Kegels an und formen wir diese um, bis die Mantellinie allein auf einer Seite steht:

<math> \textstyle \begin{align}A_O & = \pi r(2r+s) && \quad |:(\pi r) \\ \frac{A_O}{\pi r}&=2r+s &&\quad  |-2r\\  s &  = \frac{A_O}{\pi r}-2r && s = \frac{A_O-2\pi r^2}{\pi r}  \end{align}</math>

==== Raumgeometrie Textaufgaben ====
{{:Mathematrix: Vorlage: NeuesUnterkapitel|Raumgeometrie Textaufgaben}}
==== Ähnlichkeit von Körpern ====
{{:Mathematrix: Vorlage: NeuesUnterkapitel|Ähnlichkeit von Körpern}}
==== Zusammengesetzte Körper ====
{{:Mathematrix: Vorlage: NeuesUnterkapitel|Zusammengesetzte Körper}}

==== Kubikwurzel und weitere Wurzeln====
</onlyinclude><onlyinclude>''Das Volumen eines Würfels ist 530cm³. Wie viel ist seine Fläche?''

Diese Aufgabe ist ähnlich zur Aufgabe im [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/_Geometrie_des_Raums#Umformen|letzten Unterkapitel]] über Umformen. Die Formeln für den Würfel sind:

<math>V=a^3\quad A_O=6a^2</math>. 

Man muss erst die Kante <math>a</math> des Würfels berechnen, um seine Fläche berechnen zu können. Man kann dafür die Formel fürs Volumen benutzen, <math>V=a^3</math>, da der Wert des Volumens auch gegeben ist. Welche ist aber die Gegenrechnung von „hoch 3“? Diese Gegenrechnung nennt man Kubikwurzel oder noch besser dritte Wurzel:

<math>a^3=V \quad \Leftrightarrow a=\sqrt[3]{V}</math>

<math>a=\sqrt[3]{530} \approx 8,1\ (cm)</math>

Dann kann man leicht die Oberfläche berechnen:

<math>A_O=6a^2 \approx 6\cdot 8,1^2 \approx 393,7 (cm^2)</math>

Entsprechend zur Wurzel (die besser Quadratwurzel genannt wird), ist die dritte Wurzel (auch Kubikwurzel genannt) nur dann eine genaue Zahl, wenn die Zahl unter der Wurzel eine sogenannte [[w:Kubikzahl|Kubikzahl]] ist, wie z.B.:

1(=1³), 8(=2³), 27(=3³), 64(=4³), 125(=5³), 216(=6³), 343(=7³), 512(=8³), 729(=9³), 1000(=10³), 0,008(=0,1³), 9,261(=2,1³)...

Daher gilt:

<math>\begin{align} \sqrt[3]{1}&=1 \\ \sqrt[3]{27}&=3 \\ \sqrt[3]{343}&=7 \\ \sqrt[3]{9{,}261}&=2{,}1  \end{align}</math>

Die Kubikwurzel von jeder anderen Zahl (die keine Kubikzahl ist) ist eine [[{{:Mathematrix: Vorlage: Kleinkram|w=tlink1}}/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik#Reelle_Zahlen|irrationale Zahl]].



{{Anker|AllgWurzel}}Diese Idee der Gegenrechnung kann man auf alle Hochzahlen erweitern:

<math>\begin{align} \sqrt[4]{a}&=b &&\rightarrow  \quad a  =b^{4} \\ \sqrt[5]{m}&=n  &&\rightarrow  \quad m  =n^{5} \\ \sqrt[-10]{x}&=z  &&\rightarrow  \quad  x  =z^{-10} \\ \sqrt[35]{p}&=q   &&\rightarrow  \quad  p  =q^{35} \end{align}</math>

oder sogar (!):

<math>\begin{align} \sqrt[4,3]{a}&=b &&\rightarrow  \quad a  =b^{4,3} \\ \sqrt[0,3]{m}&=n  &&\rightarrow  \quad  m  =n^{0,3} \\ \sqrt[\sqrt 6]{x}&=z  &&\rightarrow  \quad  x  =z^{\sqrt 6} \\ \sqrt[x]{p}&=q   &&\rightarrow  \quad  p  =q^{x} \end{align}</math>



Zur Vereinfachung der Symbole benutzt man keine Zahl am Anfang des Wurzelzeichens, nur wenn es um die Quadratwurzel geht: 

<math>\sqrt[2]m\ </math> ist gleichbedeutend wie <math>\sqrt m\ </math>

<small>Herzlichen Dank an alle, deren Bilder ich in diesem Kapitel benutzt habe!</small>

</onlyinclude>
{{:Mathematrix: Vorlage: Unten}}