Quelltext der Seite Mathe für Nicht-Freaks: Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus und Arkuskosinus sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus|Sinus und Kosinus]] (wenn man ihren Definitions- und Wertebereich geeignet einschränkt).

== Definition und Herleitung ==
[[Datei:Arcsine_Arccosine.svg|thumb|Arkussinus und Arkuskosinus 
{{Farblegende|#ff2222|arcsin&nbsp;(''x'')}}
{{Farblegende|#2222ff|arccos&nbsp;(''x'')}}]]
Wir wissen bereits, dass die Sinus- und Kosinusfunktion <math>\sin(x)</math> die Definitionsmenge <math>D = \R</math> und die Zielmenge <math>Z = \R</math> haben. Insbesondere sind beide Funktionen ''nicht'' [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion#Anker:Bijektivität|bijektiv]], da sie weder injektiv noch surjektiv sind. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie jedes Element der Zielmenge trifft und eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Eine Funktion ist nur dann bijektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv, als auch injektiv ist.

In der folgenden Grafik der Sinusfunktion sieht man, dass nur Zahlen zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> getroffen werden. Damit ist sie nicht surjektiv, da ihre Zielmenge mit <math>\R</math> viel größer als <math>[-1,1]</math> ist. Auch wird jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen und somit kann die Funktion nicht injektiv sein:

[[Datei:Sine.svg|center|500px|Graph der Sinusfunktion]]

Um die Sinusfunktion surjektiv zu machen, müssen wir ihre Zielmenge auf die Werte einschränken, die auch tatsächlich angenommen werden. Diese Menge ist das Bild der Sinusfunktion, also die Menge <math>[-1,1]</math>. Dadurch erhalten wir eine neue Funktion <math>\sin_2</math>, welche definiert ist als <math>\sin_2:\R\to [-1,1]: x\mapsto \sin(x)</math>. Beachte, dass <math>\sin_2 \neq \sin</math> ist, obwohl die Funktionsvorschrift identisch ist. Beide Funktionen unterscheiden sich nämlich in der Zielmenge. 

Als nächstes überlegen wir uns, wie wir <math>\sin_2</math> injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir <math>\sin_2</math> auf ein Intervall einschränken, wo die Sinusfunktion streng monoton ist. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel ist der Sinus auf den Intervallen <math>\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]</math> oder <math>\left[\tfrac{5}{2}\pi,\tfrac{7}{2}\pi\right]</math> streng monoton:

[[File:Sinusfunktion Injektivität.svg|zentriert|450px|Auf den markierten Bereichen ist der Sinus streng monoton]]

Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches Monotonieintervall die Definitionsmenge des Sinus eingeschränkt wird. Allerdings ist es in der Literatur üblich, das Intervall <math>[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]</math> zu nehmen. Dies hat den Grund, dass der Kosinus im Intervall <math>[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]</math> nichtnegativ ist. Die bijektive, eingeschränkte Sinusfunktion lautet daher:

{{Formel|<math>\sin_2\left|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\right.: \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \to [{-1},1]</math>}}

Auf analog Weise wird zunächst <math>\cos_2:\R\to[-1,1]:x\mapsto\cos(x)</math> definiert, um eine surjektive Version der Kosinusfunktion zu erhalten. Ihr Definitionsbereich wird dann auf ein Intervall eingeschränkt, wo die Kosinusfunktion streng monoton steigt und die Sinusfunktion nichtnegtaiv ist:

{{Formel|<math>\cos_2\left|_{\left[0,\pi\right]}\right.: [0,\pi] \to [{-1},1]</math>}}

Beide Funktionen sind sowohl injektiv und surjektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und der Arkuskosinus:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Arkussinus und Arkuskosinus
 |definition=
Wir definieren die Funktionen <math>\arcsin</math> (Arkussinus) und <math>\arccos</math> (Arkuskosinus) durch

{{Formel|<math>\begin{align}
& \arcsin:[{-1},1]\to\, [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]: x\mapsto \left(\sin_2\left|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\right.\right)^{-1}(x) \\[0.5em]
& \arccos:[{-1},1]\to\, [0,\pi]: x\mapsto \left(\cos_2\left|_{\left[0,\pi\right]}\right.\right)^{-1}(x)
\end{align}</math>}}
 }}

==Eigenschaften==
=== Übersicht über die Eigenschaften ===
{| class="wikitable"
|-class="hintergrundfarbe6"
! &nbsp;
!Arkussinus
!Arkuskosinus
|-
| Funktions-<br />Graphen
| [[Datei:Arcsin.svg|250px|Arcsin]]
| [[Datei:Arccos.svg|250px|Arccos]]
|-
| Definitionsbereich
| <math>x\in [-1,1]</math>
| <math>x\in [-1,1]</math>
|-
| Wertebereich
| <math>-\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}</math>
| <math>0\le f(x) \le\pi </math>
|-
| Monotonie
| streng monoton steigend
| streng monoton fallend
|-
| Symmetrien
| Ungerade Funktion: <math>\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\!</math>
| Punktsymmetrie zu <math>\left(x=0\;,\;y =\tfrac{\pi}{2}\right),</math><br /><math>\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!</math>
|-
| Asymptoten
| <math>f(x) \to\pm \frac{\pi}{2}</math> für <math>x \to\pm 1</math>
| <math>f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2}</math> für <math>x \to\pm 1</math>
|-
| Nullstellen
| <math>x = 0\!</math>
| <math>x = 1\!</math>
|-
| Unstetigkeitsstellen
| keine
| keine
|-
| Polstellen
| keine
| keine
|-
| Extrema
| keine
| keine
|-
| Wendepunkte
| <math>x = 0\!</math>
| <math>x = 0\!</math>
|}

=== Symmetrie ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |satz=Der Arkussinus <math>\arcsin</math> ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskosinus <math>\arccos</math> ist punktsymmetrisch zum Punkt <math>\left(0,\frac{\pi}{2}\right)</math>.
 |beweis=Wir nutzen aus, dass <math>\arcsin</math> und <math>\arccos</math> die Umkehrfunktionen von <math>\sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}^{-1}</math> und <math>\cos_2|_{\left[0,\pi\right]}^{-1}</math> sind. 
}}
{{todo|Beweis ergänzen|Mathe}}

=== Stetigkeit ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |satz= Der Arkussinus <math>\arcsin: [{-1},1]\to\, [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]</math> und der Arkuskosinus <math>\arccos:[{-1},1]\to\, [0,\pi]</math> sind stetig.

 |beweis=Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Sinus- und Kosinusfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von <math>\sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}</math> und <math>\cos_2|_{\left[0,\pi\right]}</math>, da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit). 

Es gilt also: <math>\sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}</math> und <math>\cos_2|_{\left[0,\pi\right]}</math> sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Sinus und Kosinus jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit der Umkehrfunktion#Satz_von_der_Stetigkeit_der_Umkehrfunktion|Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion]] erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen <math>\arcsin</math> und <math>\arccos</math> sind stetig.
}}

=== Ableitung ===
In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitungsregeln: Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel, Summenregel, Faktorregel|Ableitungsregeln]] und [[Mathe_für_Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit|Ableitungen]] sowie Ergebnisse aus dem Kapitel [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung der Umkehrfunktion|Ableitung der Umkehrfunktion]].

{{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Ableitungen|Ableitung_Arkussinus_und_-kosinus}}

=== Integral ===
In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über [[Mathe für Nicht-Freaks: Integral einer Funktion|Integrale]], insbesondere die [[Mathe für Nicht-Freaks: Substitutionsregel für Integrale|Substitutionsregel]] und die [[Mathe für Nicht-Freaks: Partielle Integration|Partielle Integration]].
{{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale|Integral_Arkussinus_und_-kosinus}}

=== Monotonie ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |satz= Der Arkussinus <math>\arcsin: [{-1},1]\to\, [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]</math> ist streng monoton steigend und der Arkuskosinus <math>\arccos:[{-1},1]\to\, [0,\pi]</math> ist streng monoton fallend.

 |beweis=Aus der Ableitungsfunktion des Arkussinus kann man direkt ablesen, dass <math>\arcsin</math> im Intervall <math>]{-1},1[</math> streng monoton steigend ist. Der Arkussinus ist darüber hinaus stetig und springt daher an den Randpunkten <math>-1</math> und <math>1</math> nicht. Daraus folgt, dass der Arkussinus auf der gesamten Definitionsmenge <math>[{-1},1]</math> streng monoton steigt.

Mit analoger Argumentation zeigt man, dass der Arkuskosinus streng monoton fällt.
}}

=== Maxima und Minima ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |satz=Der Arkussinus <math>\arcsin</math> hat das absolute Minimum <math>-\frac{\pi}{2}</math> bei <math>x = -1</math> und das absolute Maximum <math>\frac{\pi}{2}</math> bei <math>x = 1</math>. 

Der Arkuskosinus <math>\arccos</math> hat das absolute Minimum <math>0</math> bei <math>x = 1</math> und das absolute Maximum <math>\pi</math> bei <math>x = -1</math>. 

 |beweis=Die Arkussinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall <math>[-1,1]</math> definiert. Nach dem [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Satz_vom_Minimum_und_Maximum|Satz vom Minimum und Maximum]] existiert also eine Maximalstelle und eine Minimalstelle. Da die Funktion <math>\arcsin</math> streng monoton steigt, folgt direkt mit der Definition eines Minimums und Maximums, dass die Minmal- und Maximalstellen bei <math>x = 1</math> und <math>x = -1</math> liegen. Da die Arkussinusfunktion die Umkehrfunktion von <math>\sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}</math> ist, folgt <math>\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow -1 = \sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}(-\frac{\pi}{2})</math> und <math>\arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow 1 = \sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}(\frac{\pi}{2})</math>.

Die Arkuskosinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall <math>[-1,1]</math> definiert und dort streng monoton fallend. Mit analoger Argumentation wie beim Arkussinus folgt die Behauptung.
}}

=== Relationen ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |satz=
Es gilt für alle <math>x\in [-1,1]</math> folgende Relation zwischen den beiden Arkusfunktionen:

{{Formel|<math>\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}</math>}}

 |beweis=
Sei <math>x \in [-1,1]</math> beliebig. Wir stellen die obige Gleichung nach <math>\arcsin(x)</math> um und wenden auf beiden Seiten die Umkehrfunktion <math>\sin_2|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}</math> an. Wir erhalten: <math>x = \sin_2({\frac{\pi}{2} - \arccos(x)})</math>. Nun nutzen wir die bereits bekannte Relation <math>\sin_2(\frac{\pi}{2}-x)=\cos_2(x)</math> und erhalten die Gleichung: <math>x = \cos_2(\arccos(x)) \Leftrightarrow x = x</math>. Letztere Gleichung ist offensichtlich wahr und mit der ursprünglichen äquivalent (alle vorgenommenen Schritte waren Äquivalenzumformungen!).
}}

{{todo|weitere Eigenschaften?! Nullstellen, Wendepunkte, Asymptoten und Stammfunktion|Mathe}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten|quellen=
*Seite „Arkussinus und Arkuskosinus“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. Januar 2017, 13:07 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arkussinus_und_Arkuskosinus&oldid=161524750 (Abgerufen: 21. März 2017, 08:17 UTC) 
}}