Quelltext der Seite MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ S-Multiplikation

==Multiplikation mit Skalaren==
Wie bereits gezeigt wurde, ist der Vektor, der sich von einem Vektor <math>\vec{a}</math> nur in der Orientierung unterscheidet, der sogenannte Gegenvektor, geschrieben als <math>-\vec{a}</math>. 

Gesucht ist jetzt ein Vektor mit gleicher Richtung, aber anderem [[MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Definition#Betrag eines Vektors|Betrag]] und unter Umständen anderer Orientierung. Also ein Vektor <math>\vec{b}</math> mit <math>\left|\vec{b}\right|=\left|r\right|\cdot\left|\vec{a}\right|,\;r\in\mathbb{R}</math>: Dieser Vektor wird als <math>r\cdot\vec{a}</math> bezeichnet, wobei das Symbol <math>\cdot</math> für die ''Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar'' (Skalar = reelle Zahl) stehen soll. Es gilt:

{{:MathGymOSVorlage/ Definition|inhalt=
[[Bild:SMultiplikation.png|thumb]]
Ist <math>\vec{a}\ne\vec{0}</math>, dann ist <math>\vec{b}=r\cdot\vec{a}</math> mit <math>r\in\mathbb{R}\setminus\{0\}</math> derjenige Vektor, der folgende Bedingungen erfüllt:
* <math>\vec{b}</math> und <math>\vec{a}</math> haben die gleiche Richtung, d.h. die von ihnen beschriebene Verschiebung folgt der gleichen Richtung bzw. die zu dem Vektor gehörenden Pfeile sind parallel.
* Für die Beträge gilt: <math>\left|\vec{b}\right|=\left|r\right|\cdot\left|\vec{a}\right|</math>, d.h. die durch <math>\vec{b}</math> beschrieben Verschiebung erfolgt <math>\left|r\right|</math>-mal so weit, wie die durch <math>\vec{a}</math> beschriebene, bzw. die zu <math>\vec{b}</math> gehörenden Pfeile sind <math>\left|r\right|</math>-mal so lang, wie die zu <math>\vec{a}</math> gehörenden.  
* <math>\vec{b}</math> und <math>\vec{a}</math> haben die gleiche Orientierung, wenn <math>\left.r>0\right.</math> ist. <br /> <math>\vec{b}</math> und <math>\vec{a}</math> haben entgegengesetzte Orientierung, wenn <math>\left.r\right.<0</math> ist.
Des Weiteren gilt:
*Für alle Vektoren <math>\vec{a}</math> gilt: <math>0\cdot\vec{a}=\vec{0}</math>.
*Für alle Skalare <math>r\in\mathbb{R}</math> gilt: <math>r\cdot\vec{0}=\vec{0}</math>.

Die Operation <math>\cdot:\; \left(r,\vec{a}\right)\mapsto r\cdot\vec{a}</math> heißt '''Multiplikation von Vektoren mit Skalaren'''.
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{|cellpadding="4" cellspacing="5" style=" font-size:100%; border:1px dashed #104E8B; background: #F9F9F9; width:100%"
|Die Multiplikation mit Skalaren wird auch als "Skalarmultiplikation" oder "S-Multiplikation" bezeichnet. Da es dann jedoch leichter zu einer Verwechselung mit dem Begriff des "Skalarproduktes" kommen kann werden diese Ausdrücke in diesem Buch vermieden.
|}

Es gilt: <math>(-1)\cdot\vec{a}=-\vec{a}</math>. Der Gegenvektor eines Vektors ist also sein skalares Vielfaches mit dem Faktor <math>-1</math>.

Außerdem gilt für jedes <math>n\in\mathbb{N}:\; n\cdot\vec{a}=\underbrace{\vec{a}+\vec{a}+\ldots+\vec{a}}_{n\mbox{-mal}}</math>

Mit Hilfe der [[w:Strahlensatz|Strahlensätze]] lässt sich zeigen
{{:MathGymOSVorlage/ Regel|titel=Satz|inhalt=
Für einen Vektor <math>\vec{v}\in\mathbb{R}^3</math> und ein Skalar <math>r\in\mathbb{R}</math> gilt:
:<math>r\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}r\cdot v_1\\r\cdot v_2\\r\cdot v_3\\\end{pmatrix}</math>.
(Für andere Dimensionen analog)
}}

Es gelten folgende Regeln für die Multiplikation mit Skalaren:
{{:MathGymOSVorlage/ Regel|titel=Regeln der Multiplikation mit Skalaren|inhalt=
Für beliebige Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> und beliebige Skalare <math>s,t\in\mathbb{R}</math> gilt:
* <math>s\cdot\left(t\cdot\vec{u}\right) = \left(s\cdot t\right)\cdot\vec{u}</math> ([[w:Assoziativgesetz|Assoziativität]] der Multiplikation mit Skalaren)
* <math>\left(s+t\right)\cdot\vec{u}=s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{u}</math> ([[w:Distributivgesetz|Distributivität]] der Skalare)
* <math>s\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=s\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}</math> ([[w:Distributivgesetz|Distributivität]] der Vektoren)
}}

{{:MathGymOSVorlage/ Beispiele|display=none|inhalt=
* <math>-2,5\cdot\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\-15\\-22,5\\\end{pmatrix}</math>
* Mit Hilfe Vektoren <math>\vec{u}=\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}</math> und <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\\\end{pmatrix}</math> lässt sich der Vektor <math>\vec{w}=\begin{pmatrix}-7\\12\\9\\\end{pmatrix}</math> als sogenannte ''Linearkombination'' darstellen. Es gilt:
::<math>2\cdot\vec{u}-3\cdot\vec{v}= \begin{pmatrix}-4\\12\\18\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\9\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-7\\12\\9\\\end{pmatrix}=\vec{w}</math>
* Jeder Vektor aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> lässt sich als Linearkombination der Vektoren <math>\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}</math> und <math>\vec{e}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}</math> darstellen, nämlch
:: <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\\end{pmatrix}= v_1\cdot\vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3</math> 
* Zur Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes P werden 5 Einheiten von Grundstoff A, 12 Einheiten von Grundstoff B, 3 Einheiten von Grundstoff C  und 2 Einheiten von Grundstoff D benötigt; zur Herstellung des Produktes Q werden 1 Einheit von Grundstoff A, 8 Einheiten von Grundstoff B und 12 Einheiten von Grundstoff C benötigt.
:: Dann stellt der Vektor <math>\vec{p}=\begin{pmatrix}5\\12\\3\\2\\\end{pmatrix}</math> und <math>\vec{q}=\begin{pmatrix}1\\8\\12\\0\\\end{pmatrix}</math> stellen diesen Materialbedarf vektoriell dar.
:: Für 5 Mengeneinheit von Produkt P und 3 Mengeneinheit von Produkt Q zusammen wird dann der Materialbedarf durch den Vektor <math>5\cdot\vec{p}+3\cdot\vec{q}= 5\cdot\begin{pmatrix}5\\12\\3\\2\\\end{pmatrix}+3\cdot \begin{pmatrix}1\\8\\12\\0\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}28\\84\\51\\10\\\end{pmatrix}</math> beschrieben.  
}}

==Kollinearität==
Vektoren mit gleicher Richtung aber verschiedenem Betrag und unter Umständen verschiedener Orientierung werden nicht als ''parallel'' oder ''antiparallel'' bezeichnet. Zwei solche Vektoren unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor. Es gilt:

{{:MathGymOSVorlage/ Definition|inhalt=
Zwei Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math>, die sich nur um einen skalaren Faktor unterscheiden, also <math>\vec{a}=r\cdot\vec{b},\;r\in\mathbb{R}</math>, heißen '''kollinear'''.
}}
 
{{:MathGymOSVorlage/ Beispiele|display=none|inhalt=
*<math>\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix},\; \vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\12\\1\\\end{pmatrix},\; \vec{w}=\begin{pmatrix}-3\\6\\-12\\\end{pmatrix},\;</math>
:: <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> sind nicht kollinear, denn sonst müsste es ein <math>r\in\mathbb{R}</math> geben, mit <math>\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}=\vec{u}=r\cdot\vec{v}= \begin{pmatrix}-6\,r\\12\,r\\r\\\end{pmatrix}</math>. Solch ein r existiert aber nicht, denn aus den ersten beiden Zeilen würde sich <math>r=-\frac{1}{3}</math> ergeben, währen die letzte Zeile <math>r=8</math> ergibt.
:: <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{w}</math> sind kollinear, denn <math>\begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}=\vec{u}=-\frac{2}{3}\cdot\vec{w}= \begin{pmatrix}2\\-4\\8\\\end{pmatrix}</math>.
:: Dann sind auch <math>\vec{v}</math> und <math>\vec{w}</math> nicht kollinear, denn aus <math>\vec{v}=r\cdot\vec{w}=-r\cdot\frac{3}{2}\cdot\vec{v}</math> würde ja sonst im Widerspruch zum Vorangegangenen die Kollinearität von  <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> folgen.
*Gegebene sind die Punkte <math>P\left(3|-9\right)</math> und <math>Q\left(2|-6\right)</math>.
:: Die Ortsvektoren <math>\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\-9\\\end{pmatrix}</math> und <math>\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}2\\-6\\\end{pmatrix}</math> sind kollinear, denn es gilt <math>\overrightarrow{OP}=\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OQ}</math>.
:: Die Ursprungsgerade durch P hat die Steigung <math>m=\frac{-9}{3}=-3</math> genau wie die Ursprungsgerade durch Q. Die beiden Punkte liegen also auf derselben Ursprungsgerade. Das muss auch so sein, denn die Verschiebung, die den Ursprung in P verschiebt verläuft in der selben Richtung, wie die Verschiebung, die den Ursprung in Q verschiebt. Anders ausgedrückt: Die Ortsvektoren von P und Q waren ja kollinear.
}}

[[MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Aufgaben/ Teil1.03|Zu den Übungsaufgaben]]

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