Quelltext der Seite Komplexe Zahlen/ Darstellungsformen

<noinclude>{{AutoNavigation}} {{TOCright|limit=3}}</noinclude>

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit verschiedenen Formen, die komplexen Zahlen darzustellen, und weist jeweils auf Rechenverfahren hin. Auch wenn die ersten Darstellungsformen eng zusammengehören, werden sie wegen der besseren Übersichtlichkeit getrennt behandelt.

== Die algebraische Form ==
Dabei handelt es sich um die Schreibweise <math>\;z = a + b\,\mathrm{i}\;</math> aus dem vorigen Kapitel. Sie wird auch als '''arithmetische Form''' bezeichnet.

Die Grundrechenarten dafür werden jetzt als bekannt vorausgesetzt.

== Die Gauß'sche Zahlenebene ==
Die Zahlengerade ist eine geometrische Darstellung aller reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen sind „mehr“, können also auf ihr nicht untergebracht werden. Wir müssen also die reelle Zahlengerade zur Gauß'schen Zahlenebene<ref>Benannt nach [[w:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (1777–1855). – ''Zusatzbemerkung zur Schreibweise: Nach den geltenden Rechtschreibregeln (§&#8239;62) gibt es zwei Schreibweisen: Gauß'sche Zahlenebene (Eigenname groß mit Apostroph) oder gaußsche Zahlenebene (Eigenname klein ohne Apostroph). In der Mathematik ist auch die Schreibweise „Gaußsche Zahlenebene“ (Eigenname groß ohne Apostroph) üblich.''</ref> erweitern – auch kürzer ''komplexe Ebene'' oder ''Gauß'sche Ebene'' genannt.

Betrachten wir zunächst die (rein-)imaginären Zahlen als Produkte der reellen Zahlen mit ''i'', also die folgenden Zahlen und alle dazwischenliegenden Werte:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\dots \; - 3\,\mathrm{i}, \; - 2\,\mathrm{i}, \; -\mathrm{i}, \; 0, \;\mathrm{i}, \;2\,\mathrm{i}, \;3\,\mathrm{i} \; \dots </math>}}

Diese Zahlen können wir auf eine eigene, die „imaginäre Zahlengerade“ abbilden. Dabei ist es zweckmäßig, die „imaginäre Einheitsstrecke“ gleich der reellen Einheitsstrecke zu machen. Da die beiden Zahlengeraden die Null gemeinsam haben, müssen wir sie so anordnen, dass sie einander in 0 schneiden. Schon aus Symmetriegründen erscheint es zweckmäßig, die beiden Zahlengeraden senkrecht zueinander anzubringen.
[[Datei:Complex plane examples 1.svg|right|350px]]
Die horizontale Achse heißt '''reelle Achse,''' die vertikale Achse wird '''imaginäre Achse''' genannt. 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Auch auf der imaginären Achse werden reelle Zahlen aufgezeigt – nicht, wie oft zu sehen ist, imaginäre.}}

Aus dieser Grafik lassen sich bereits drei Dinge herauslesen:
# Komplexe Zahlen lassen sich nicht ordnen. Es existieren also keine Aussagen wie <math>\;z_1<z_2</math>.
# Die zu <math>z</math> konjugiert-komplexe Zahl <math>\overline z</math> ist, geometrisch gesprochen, die Spiegelung des Punktes <math>\;z=(a|b)\;</math> an der reellen Achse (ähnlich dem Beispiel mit <math>z_1</math> und <math>z_3</math> in dieser Grafik).
# Jeder komplexen Zahl kann ein Punkt <math>\;z=(a|b)\;</math> zugeordnet werden oder auch ein Vektor von <math>(0|0)</math> zu <math>(a|b)</math>.

Aus dieser Eigenschaft lassen sich die Rechenregeln für die Addition und Subtraktion herleiten. Vektoren können komponentenweise addiert und subtrahiert werden. Hier ein kleines Beispiel zur Erinnerung:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\binom{-2}{3} + \binom{4}{2} = \binom{2}{5}</math>}}

[[File:ComplexAddition.svg|right|200px|Die Addition komplexer Zahlen]]
Wenn wir dieses Prinzip auf die komplexen Zahlen übertragen, erhalten wir die bereits bekannten Regeln:
* Bei der '''Addition''' der komplexen Zahlen werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils für sich addiert.
* Bei der '''Subtraktion''' werden die Realteile und die Imaginärteile voneinander subtrahiert.
Dies legt nahe, dass wir die Addition und Subtraktion auch grafisch darstellen können und zwar ebenfalls nach den Regeln der Vektorgeometrie (siehe die nebenstehende Darstellung). 

Die Illustration von Multiplikation und Division wird auf den nächsten Abschnitt verschoben, wo es leichter verständlich wird (zumal es bei Vektoren mehrere Arten der Multiplikation gibt).

Der '''Betrag''' wiederum entspricht der Länge des Vektors <math>\tbinom{a}{b}</math>, was sich einfach mit dem Satz des Pythagoras erklärt.{{clear}}

== Die Polarform ==
[[Datei:Gaußsche Zahlenebene.svg|right|300px|border|Die Gauß'sche Zahlenebene]]
Schreibt man die komplexe Zahl <math>\;z=(a|b)\;</math> nicht in kartesischen Koordinaten, sondern in Polarkoordinaten, so erhält man die Polarform einer komplexen Zahl, die sich einfach aus der Trigonometrie ergibt:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{array}{rlll}
\cos \varphi &= \; \frac{a}{r} & \Rightarrow\quad a \; = \;r\cos \varphi 
& \quad\Rightarrow\quad \varphi \; = \; \arccos \frac{a}{r} \\
\sin \varphi &= \; \frac{b}{r} & \Rightarrow\quad b \; = \;r\sin \varphi 
& \quad\Rightarrow\quad \varphi \; = \; \arcsin \frac{b}{r} \\
\tan \varphi &= \; \frac{b}{a} & \Rightarrow\quad \varphi \; = \; \arctan \frac{b}{a} \\
r &= \; \sqrt{a^2 + b^2}
\end{array}</math>}}

Das verwenden wir zur Definition der Polarform einer komplexen Zahl:
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition|titel=Polarform einer komplexen Zahl|definition=
{{(!}}
{{!}} <math>z = r \cdot \left( \cos\varphi + \mathrm{i} \cdot \sin\varphi \right)</math>&emsp; {{!!}} wird als '''Polarform''' bezeichnet.
{{!-}}
{{!}} <math>z = r \cdot \operatorname{cis}\varphi</math> {{!!}} ist eine abgekürzte Schreibweise.
{{!-}}
{{!}} <math>z = \left( r, \varphi \right)</math> {{!!}} ist eine weitere Schreibweise.
{{!-}}
{{!}} <math>\varphi = \arg\left(z\right)</math> {{!!}} Der Winkel <math>\varphi</math> heißt '''Argument''' von <math>z</math>.
{{!-}}
{{!}} <math>|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}</math> {{!!}} ist der '''(absolute) Betrag''' von <math>z</math>.
{{!)}}
}}
Dabei müssen die Mehrdeutigkeit und der Wertebereich des Arkustangens berücksichtigt werden:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi = \arctan \frac{b}{a} + k \cdot \pi ,\quad\text{wobei}\quad  - \frac{\pi}
{2} < \arctan \frac{b}{a} < \frac{\pi}{2}\quad \text{und } k \text{ ganzzahlig ist}.
</math>}}

Der Wert <math>\;\varphi _0 = \arctan \tfrac{b}{a}\;</math> heißt '''Hauptwert''' von <math>\varphi</math>.

Oben hatten wir bereits festgestellt, dass die konjugiert-komplexe Zahl der Spiegelung an der reellen Achse entspricht. In der Polarform können wir das (unter Berücksichtigung der Symmetrien von Sinus und Kosinus) auch so formulieren.

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
\overline z \; &= \; r \cdot \left( \cos\varphi \quad\;\, - \mathrm{i} \cdot \sin\varphi \quad\; \right)\\
&= \; r \cdot \left( \cos(-\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(-\varphi) \right)
\end{align}</math>}}

Die folgenden Formulierungen über zwei konjugiert-komplexe Zahlen <math>z</math> und <math>\overline z</math> sind also gleichbedeutend:
# Die Realteile sind gleich, die Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
# Die den Zahlen entsprechenden Punkte liegen symmetrisch zur reellen Achse.
# Die Beträge sind gleich, die Argumente unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

=== Zur Eindeutigkeit des Arguments ===
Der Bezug auf den '''Arkustangens''' macht deutlich: Bei der Berechnung des Winkels <math>\varphi</math> ist Vorsicht geboten! Nehmen wir zu einer komplexen Zahl <math>\;z=(a|b)\;</math> mit positivem ''a'' und ''b'' sowohl die konjugiert-komplexe Zahl <math>\;z_1=(a|-b)\;</math> (also an der reellen Achse gespiegelt) als auch die Zahl <math>\;z_2=(-a|b)\;</math> (also an der imaginären Achse gespiegelt). Die Berechnung des Winkels ergibt dann:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi_1 \; = \; \arctan\left(\tfrac{-b}{a}\right) \quad \text{sowie} \quad \varphi_2 \; = \; \arctan\left(\tfrac{b}{-a}\right)</math>}}

In beiden Fällen liefert der Arkustangens denselben Wert. Aber offensichtlich liegen beide Zahlen in verschiedenen Quadranten, also handelt es sich um zwei verschiedene Winkel. <math>z_1</math> liegt im vierten Quadranten, also muss <math>\varphi_1</math> zwischen 270° und 360° betragen. Für <math>z_2</math> im zweiten Quadranten beträgt <math>\varphi_2</math> zwischen 90° und 180°.
Tatsächlich entspricht dies der Mehrdeutigkeit des Arkustangens, der nur innerhalb eines Bereichs – beispielsweise von –90° bis +90° – eindeutig ist.

Ebenfalls problematisch sind die Zahlen <math>\;z_3=(0|b)\;</math> und <math>\;z_4=(0|-b)\!</math>, weil <math>\;\arctan\left(\tfrac{\mp b}{0}\right)\;</math> nicht definiert ist. Wegen der Lage im Koordinatensystem können wir den Winkel trotzdem genau angeben: Offensichtlich gelten <math>\;\varphi_3 = 90^\circ\;</math> und <math>\;\varphi_4 = 270^\circ\!</math>.

Man kann also aus der Lage eines Punktes in den einzelnen Quadranten oder auf den Achsen leicht entscheiden, in welchem Bereich der Winkel zu einer bestimmten Zahl liegen muss. Man kann das aber auch durch eine Fallunterscheidung ausdrücken; zusammen mit der üblichen Schreibweise, in der 180° durch <math>\pi</math> ersetzt wird, ergibt sich dann:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi = \begin{cases}
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \text{für} \; a > 0,\ b \geq 0 \qquad \text{(1. Quadrant)}\\
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) + 2\pi & \text{für} \; a > 0,\ b < 0 \qquad \text{(4. Quadrant)}\\
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi & \text{für}\; a < 0 \qquad\qquad\quad \text{(2./3. Quadrant)}\\
\frac{\pi}{2} & \text{für} \; a = 0,\ b > 0 \qquad \text{(positive Im-Achse)}\\
\frac{3\pi}{2} & \text{für} \; a = 0,\ b < 0 \qquad \text{(negative Im-Achse)}\\
\text{unbestimmt} & \text{für} \; a = 0,\ b = 0 \qquad \text{(Nullpunkt)}
\end{cases}</math>}}

Mit dem '''Arkuskosinus''' ergibt sich eine einfachere Fallunterscheidung. (Der Arkustangens hängt direkt mit ''a'' und ''b'' zusammen; deshalb hat er sich für die vorstehenden Überlegungen angeboten.) Der Arkuskosinus ist eindeutig im Bereich von 0 bis <math>\pi</math>. Für diesen Bereich – den ersten und zweiten Quadranten, also für <math>\;b \ge 0</math> – können wir direkt die erste Umrechnungsformel der Polarform (zur ersten Grafik oben) verwenden.

Für <math>\;b < 0\;</math> nutzen wir die Symmetrie und die Periodizität des Kosinus. Die Symmetrie an der reellen Achse liefert zu jeder komplexen Zahl die konjugiert-komplexe Zahl (also mit gleichem Realteil ''a'' und Vorzeichenwechsel beim Imaginärteil ''b''). Bezeichnen wir nun mit <math>\varphi</math> den gesuchten Winkel (im vierten oder dritten Quadranten) und mit <math>\varphi_1</math> den Winkel der konjugiert-komplexen Zahl (im ersten bzw. zweiten Quadranten). Für eine komplexe Zahl im vierten Quadranten ergibt sich unmittelbar <math>\;\varphi = - \varphi_1\!</math>. Für eine komplexe Zahl im dritten Quadranten verwenden wir die Differenz zwischen den Winkeln der zueinander konjugiert-komplexen Zahlen und der reellen Achse: Die Differenz beträgt <math>\;\pi - \varphi_1\;</math> und liefert – zusammen mit der Periode <math>2\pi</math> – ebenfalls:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi \; = \; \pi + (\pi - \varphi_1) \; = \; 2\pi - \varphi_1 \; \equiv \; - \varphi_1 \mod 2\pi</math>}}

Zusammengefasst liefert das folgende Fallunterscheidung:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi = \begin{cases}
  \arccos\left(\tfrac{a}{r}\right) & \text{für} \; b \geq 0 \qquad \text{(1. und 2. Quadrant)}\\
- \arccos\left(\tfrac{a}{r}\right) & \text{für} \; b < 0 \qquad \text{(3. und 4. Quadrant)}\\
  \text{unbestimmt} & \text{für} \; a = 0,\ b = 0 \qquad \text{(Nullpunkt)}
\end{cases}</math>}}

=== Umrechnungen ===
==== Algebraische Form in Polarform umwandeln ====
Hierfür benutzen wir in mehreren Beispielen die Überlegungen zur Eindeutigkeit des Arguments, und zwar sowohl mit dem Arkuskosinus<ref>Bei den Berechnungen wird mehrfach folgende Formel verwendet:<br /><math>\arccos x = \pi - \arccos(-x)</math></ref> als auch mit dem Arkustangens.

[[Image:Komplex2_1.JPG|thumb|200px|Die komplexe Zahl ''z'' = –1 –i]]
'''Beispiel 1'''
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; -1 - \mathrm{i} \qquad \text{also}\quad a \; = \; -1 \quad\text{und}\quad b = -1</math>}}

Für den '''Betrag''' ergibt sich jedenfalls:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>r \; = \; \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \; = \; \sqrt{2}</math>}}

Der '''Arkuskosinus''' liefert für den Winkel eindeutig:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
\varphi \; &= \; - \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \; = \; - \arccos\left(\frac{-1}{2}\sqrt{2}\right) \; = \; \arccos\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right) - \pi\\
&= \; \frac{\pi}{4} - \pi \; = \; - \frac{3}{4}\pi \; \equiv \; \frac{5}{4}\pi \mod{2\pi}
\end{align}</math>}}

Mit dem '''Arkustangens''' erhalten wir die beiden möglichen Werte:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\tan\varphi \; = \; \frac{-1}{-1} = 1 \quad\Rightarrow\quad \varphi_1 \; = \; \frac{\pi}{4} \quad\text{und}\quad \varphi_2 \; = \; \frac{5\pi}{4}</math>}}

Aus der Zeichnung ersehen wir, dass nur <math>\tfrac{5\pi}{4}</math> als Argument in Frage kommt.

'''Ergebnis''' beider Varianten:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; -1 - \mathrm{i} \; = \; \sqrt{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right)</math>}}

'''Beispiel 2'''
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; 2 + 2\sqrt{3}\cdot\mathrm{i} \qquad \text{also}\quad a = 2 \quad\text{und}\quad b = 2\sqrt{3}</math>}}

Für den '''Betrag''' ergibt sich:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>|z| \; = \; r \; = \; \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} \; = \; \sqrt{4+12} \; = \; 4</math>}}

Der '''Arkuskosinus''' liefert uns:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi \; = \; \arccos\left(\frac{2}{4}\right) \; = \; \frac{\pi}{3}</math>}}

Beim '''Arkustangens''' wird berücksichtigt, dass der Punkt im ersten Quadranten liegt (Realteil und Imaginärteil sind positiv). Berechnen wir dazu als Argument:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\tan\varphi \; = \; \frac{2\sqrt{3}}{2} \; = \; \sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \varphi \; = \; \tfrac{\pi}{3} \; = \; 60^\circ</math>}}

Es '''ergibt''' sich für ''z'' als geometrische Darstellung ein Pfeil der Länge 4 unter 60&deg; im ersten Quadranten mit folgender Polarform:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; 2 + 2\sqrt{3}\,\mathrm{i} \; = \; 4 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)</math>}}

'''Beispiel 3'''
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; -\sqrt{6} + \mathrm{i}\sqrt{2} \qquad \text{also}\quad a = -\sqrt{6} \quad\text{und}\quad b = \sqrt{2}</math>}}

Diese komplexe Zahl liegt mit negativem Realteil und positivem Imaginärteil im zweiten Quadranten. Durch die gleichen Berechnungen erhalten wir die Polarform:
{|
| &emsp;&nbsp;&emsp; || Betrag || <math>r \; = \; \sqrt{ (-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 } \; = \; \sqrt{6+2} \; = \; 2\cdot\sqrt{2}</math>
|-
| &emsp;&nbsp;&emsp; || mit Arkuskosinus&emsp; || <math>\varphi \; = \; \arccos\left(\tfrac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\right) \; = \; \tfrac{5}{6} \cdot \pi</math>
|-
| &emsp;&nbsp;&emsp; || mit Arkustangens&emsp; || <math>\tan\varphi \; = \; \tfrac{\sqrt{2}}{-\sqrt{6}} \; = \; - \sqrt{\frac{1}{3}} \; = \; - \tfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \varphi \; = \; 150^\circ \; = \; \tfrac{5}{6}\pi</math>
|-
| &emsp;&nbsp;&emsp; || Polarform || <math>z \; = \; -\sqrt{6} + \mathrm{i}\sqrt{2} \; = \; 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\tfrac{5}{6}\pi\right)</math>
|}

Bei allen Beispielen führen beide Verfahren zum Ziel. Mal scheint die eine Variante praktischer (nämlich kürzer) zu sein, mal die andere.

==== Polarform in algebraische Form umwandeln ====
Dabei müssen wir über Eindeutigkeit und Lage nicht nachdenken: Die gegebenen Werte werden einfach in die Formeln der Herleitung eingesetzt.

Zur komplexen Zahl mit <math>\;r = 6\;</math> und <math>\;\varphi = \tfrac{5\pi}{3}</math> – also mit dem Winkel 300° im vierten Quadranten – ergibt sich die algebraische Form <math>\;z = 3 - 3\sqrt{3}\cdot \mathrm{i}\;</math> wie folgt:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{array}{rclcccc}
a &= & 6 \cdot \cos(\frac{5\pi}{3}) &= &   6 \cdot \frac{1}{2} &= & 3 \\
b &= & 6 \cdot \sin(\frac{5\pi}{3}) &= & - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} &= & - 3 \cdot \sqrt{3} \\
\end{array}</math>}}

=== Drehung ===
Betrachten wir die Vektoren der Länge 1 auf den vier Halbachsen:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{array}{lcrcccl}
z_1 &= & 1 + 0 \cdot \mathrm{i}  &= & (1, 0) & \;\text{mit dem Winkel}\; & \varphi = 0 \\
z_2 &= & 0 + 1 \cdot \mathrm{i}  &= & (0, 1) & \;\text{mit dem Winkel}\; & \varphi = \frac{\pi}{2} \\
z_3 &= & -1 + 0 \cdot \mathrm{i} &= & (-1, 0) & \;\text{mit dem Winkel}\;& \varphi = \pi \\
z_4 &= & 0 - 1 \cdot \mathrm{i}  &= & (0, -1) & \;\text{mit dem Winkel}\;& \varphi = \frac{3\pi}{2}
\end{array}</math>}}

Die Vektoren zu den Zahlen <math>z_1, \; z_2, \; z_3, \; z_4</math> entstehen also durch aufeinanderfolgende Drehungen um jeweils <math>\tfrac{\pi}{2}</math>. Wenn wir diese Zahlen mit ''i'' multiplizieren, erhalten wir ein zunächst überraschendes Ergebnis:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{array}{lcrcccr}
z_1 \cdot \mathrm{i} &= & (1 + 0\,\mathrm{i}) \cdot \mathrm{i} &= & \mathrm{i}    &= & z_2 \\
z_2 \cdot \mathrm{i} &= & (0 + 1\,\mathrm{i}) \cdot \mathrm{i} &= & \mathrm{i}^2  &= & -1 = z_3 \\
z_3 \cdot \mathrm{i} &= & (-1+ 0\,\mathrm{i}) \cdot \mathrm{i} &= & -\mathrm{i}   &= & z_4 \\
z_4 \cdot \mathrm{i} &= & (0 - 1\,\mathrm{i}) \cdot \mathrm{i} &= & -\mathrm{i}^2 &= & +1 = z_1 \\
\end{array}</math>}}

Das gilt jedenfalls für genau diese Zahlen. Wir können aber sogar allgemein beweisen:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz|titel=Die Multiplikation mit ''i'' bedeutet eine positive Drehung um <math>\tfrac{\pi}{2}</math>.|satz=
Für eine beliebige Zahl <math>\;z = a + b\,\mathrm{i} = r\left(\cos{\varphi}+ \mathrm{i} \sin{\varphi}\right)\;</math> gilt:

<math> z \cdot \mathrm{i} \; = \; r\left(\cos{\varphi'} + \mathrm{i}\,\sin{\varphi'}\right) \quad\text{mit}\quad \varphi' = \varphi + \tfrac{\pi}{2}</math>}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis|beweis=
Zunächst gilt jedenfalls:

<math> z \cdot \mathrm{i} \; = \; (a + b\,\mathrm{i})\,\mathrm{i} \; = \; a\,\mathrm{i} + b\,\mathrm{i}^2 \; = \; - b + a\,\mathrm{i}</math>

Prüfen wir zunächst die Lage der Punkte <math>\;-b +a\,\mathrm{i}\;</math> in den Quadranten:
* Bei <math>z</math> im ersten Quadranten gelten <math>a \ge 0 \;\text{und}\; b \ge 0\!</math>. Also muss <math>z\cdot\mathrm{i}</math> wegen <math>-b \le 0 \;\text{und}\; a \ge 0</math> im zweiten Quadranten liegen.
* Bei <math>z</math> im zweiten Quadranten gelten <math>a \le 0 \;\text{und}\; b \ge 0\!</math>. Also muss <math>z\cdot\mathrm{i}</math> wegen <math>-b \le 0 \;\text{und}\; a \le 0</math> im dritten Quadranten liegen.
In gleicher Weise kann festgestellt werden:
* Wenn <math>z</math> im dritten Quadranten liegt, muss <math>z\cdot\mathrm{i}</math> im vierten Quadranten liegen.
* Wenn <math>z</math> im vierten Quadranten liegt, muss <math>z\cdot\mathrm{i}</math> im ersten Quadranten liegen.

Unter Benutzung der Polarform und trigonometrischer Umrechnungen erhalten wir außerdem:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z \cdot \mathrm{i} \; &= \; r\,\left(\cos\varphi + \mathrm{i}\,\sin\varphi\right) \cdot \mathrm{i} \\
&= \; r\,\left( -\sin\varphi + \mathrm{i}\,\cos\varphi \right) \\
&= \; r\,\left( \cos(\frac{\pi}{2} + \varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\frac{\pi}{2} \pm \varphi) \right)
\end{align}</math>}}

Angenommen, das letzte Minus-Zeichen wäre zulässig, dann würde wegen
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\sin(\frac{\pi}{2} - \varphi) \; = \; \cos\varphi</math>}}
der „neue“ Punkt im selben Quadranten liegen wie der ursprüngliche. Das kann wegen der obigen Überlegung nicht gelten; also kann das Minus-Zeichen bei &plusmn; nicht zugelassen werden.
}}

=== Die Grundrechenarten ===
Über '''Addition und Subtraktion''' machen wir uns keine weiteren Gedanken. Dafür ist die algebraische Schreibweise am praktischsten; notfalls erhalten wir ein Ergebnis durch einfache Umrechnungen.

Für die '''Multiplikation''' erhalten wir unter Benutzung trigonometrischer Formeln die folgende Feststellung:
[[File:Produkt_neu.PNG|right|240px]]
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition|titel=Multiplikation
|definition=Zwei komplexe Zahlen in Polarform werden '''multipliziert,''' indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert: 

<math>\begin{align}
z_1 \cdot z_2 \; &= \; r_1 \cdot r_2 \cdot \left( {\cos \left( {\varphi _1 + \varphi _2 } \right) + \mathrm{i}\,\sin \left( {\varphi _1  + \varphi _2 } \right)} \right) \\
&= \; r_1 \cdot r_2 \cdot \operatorname{cis}\left(\varphi_1 + \varphi_2 \right) \\
\end{align}</math>
}}
Diese Festlegung entspricht widerspruchsfrei den algebraischen Regeln, wie hier zu sehen ist:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z_1 \cdot z_2 \; &= \; r_1 \cdot \left(\cos\varphi_1 + \mathrm{i}\,\sin\varphi_1\right) \cdot r_2 \cdot \left(\cos\varphi_2 + \mathrm{i}\,\sin\varphi_2\right) \\
&= \; r_1 \cdot r_2 \cdot \left( \cos\varphi_1 \cdot \cos\varphi_2 + \mathrm{i}\cdot \sin\varphi_1 \cdot \cos\varphi_2  + \mathrm{i} \cdot \cos\varphi_1 \cdot \sin\varphi_2 + \mathrm{i}^2 \cdot \sin\varphi_1 \cdot \sin\varphi_2 \right) \\
&= \; r_1 \cdot r_2 \cdot \left( \cos\varphi_1 \cdot \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \cdot \sin\varphi_2 + \mathrm{i} \cdot \left( \sin\varphi_1 \cdot \cos\varphi_2 + \cos\varphi_1 \cdot \sin\varphi_2 \right) \right) \\
&= \; r_1 \cdot r_2 \cdot \left( \cos( \varphi_1 + \varphi_2 ) + \mathrm{i} \cdot \sin( \varphi_1 + \varphi_2 ) \right)
\end{align}</math>}}

Das liefert gleichzeitig eine geometrische Interpretation der Multiplikation, nämlich als Drehstreckung, wie in der vorstehenden Grafik dargestellt: Zunächst wird der Vektor <math>z_1</math> der Länge <math>r_1</math> um den Faktor <math>r_2</math> gestreckt. Der resultierende Vektor <math>r_2z_1</math> hat die Länge <math>r_1r_2</math> und den unveränderten Winkel <math>\varphi_1\!</math>. Drehen wir jetzt diesen Vektor um den Winkel <math>\varphi_2\!</math>, so erhalten wir durch die Drehstreckung den Vektor <math>z_1z_2</math> mit der Länge <math>r_1r_2</math> und dem Winkel <math>\varphi_1 + \varphi_2\!</math>.

Die '''Division''' können wir einfacher herleiten. Gesucht ist eine Zahl ''z'' mit folgender Bedingung:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; \frac{z_1}{z_2} \quad\Leftrightarrow\quad z \cdot z_2 \; = \; z_1</math>}}
Das ist gleichbedeutend damit, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\Leftrightarrow \; \left\{\;
\begin{matrix}
 r \cdot r_2 &= & r_1 &\;\Rightarrow\; & r &= & \frac{r_1}{r_2} \\
 \varphi + \varphi_2 &= & \varphi_1 &\;\Rightarrow\; & \varphi &= & \varphi_1 - \varphi_2
\end{matrix}\right.</math>}}
Wir können also analog zur Multiplikation festlegen:
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition|titel=Division
|definition=Zwei komplexe Zahlen in Polarform werden '''dividiert,''' indem man die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert: 

<math>\begin{align}
\frac{z_1}{z_2} \; &= \; \frac{r_1}{r_2} \cdot \left( {\cos \left( {\varphi _1 - \varphi _2 } \right) + \mathrm{i}\cdot\sin \left( {\varphi _1  - \varphi _2 } \right)} \right) \\
&= \; \frac{r_1}{r_2} \cdot \operatorname{cis}\left(\varphi_1 - \varphi_2 \right) \\
\end{align}</math>
}}
Beachte, dass wir bei der Division komplexer Zahlen letztlich nur zwei ''reelle'' Zahlen dividieren, nämlich die beiden Beträge.

== Exponentialform ==
Der Vollständigkeit halber sei noch diese Darstellungsweise genannt:
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition|titel=Exponentialform einer komplexen Zahl|definition=
<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi }</math> <span style="vertical-align:sub;">&ensp; wird als '''Exponentialform''' bezeichnet.</span>

Dabei ist <math>r</math> der Betrag, <math>\mathrm{e}</math> die Exponentialfunktion<ref>Ähnlich wie bei ''i'' gibt es auch für ''e'' sowohl die kursive als auch die normale Schreibweise. In diesem Buch wird es wie jede Funktion normal geschrieben.</ref> und <math>\varphi</math> das Argument von <math>z</math>.}}
Die Herleitung dieser Form erfolgt im Kapitel [[Komplexe Zahlen/ Anwendung in der Mathematik|Anwendung in der Mathematik]] mit Hilfe der Eulerschen Formel.

== Aufgaben ==
=== Übungen ===
{{Übung4|1|Algebraische Form in Polarform umwandeln}}
Bestimme die Polarform der folgenden Zahlen:
# <math>\quad z = -5 +5\,\mathrm{i}</math>
# <math>\quad z = 0 - 3\,\mathrm{i}</math>
Benutze sowohl (Arkus-)Kosinus als auch (Arkus-)Tangens.

{{Übung4|2|Polarform in algebraische Form umwandeln}}
Bestimme die algebraische Form zur komplexen Zahl mit <math>\,r = \sqrt{12}\,</math> und <math>\,\varphi = \tfrac{2}{3}\pi\!</math>.

{{Übung4|3|Drehung}}
Gib jeweils eine geometrische Interpretation an für die Multiplikation einer komplexen Zahl ''z'' mit:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\mathrm{i}^2 \qquad \mathrm{i}^3 \qquad \mathrm{i}^4 \qquad 2\,\mathrm{i} \qquad -\mathrm{i}</math>}}

{{Übung4|4|Multiplikation}}
Gegeben sind die folgenden Zahlen:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z_1 &= 3 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{2}{3}\pi\right) \\
z_2 &= 2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{3}{4}\pi\right) \\
z_3 &= 1 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{5}{6}\pi\right) \\
z_4 &= \frac{1}{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{5}{4}\pi\right) \\
\end{align}</math>}}
Berechne die folgenden Produkte:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z_1 \cdot z_2 \qquad z_1 \cdot z_3 \qquad z_2 \cdot z_4 \qquad z_3 \cdot z_4</math>}}
Wandle das Ergebnis zusätzlich in die algebraische Form um und gib die Lage in der Gauß’schen Zahlenebene an.

{{Übung4|5|Division}}
Berechne zu den Zahlen aus Übung 4 die folgenden Divisionen:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\frac{z_3}{z_1} \qquad \frac{z_2}{z_3} \qquad \frac{z_2}{z_4}</math>}}
Wandle auch hier das Ergebnis in die algebraische Form um und gib die Lage in der Gauß’schen Zahlenebene an.

=== Lösungen ===
{{Übung4 Lösung|1|Algebraische Form in Polarform umwandeln}}
'''zu 1.''' <math>\quad z \; =  0; -5 + 5\,\mathrm{i}</math>

'''Betrag:''' <math>\quad r \; = \; \sqrt{ (-5)^2 + 5^2 } = 5\cdot\sqrt{2}</math>

'''(Arkus-)Kosinus:''' <math>\quad \varphi \; = \; \arccos\left(\tfrac{-5}{5\sqrt{2}}\right) \; = \; \pi - \arccos\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \; = \; \pi - \tfrac{\pi}{4} \; = \; \tfrac{3}{4}\pi</math>

'''(Arkus-)Tangens:''' Weil der Realteil negativ und der Imaginärteil positiv ist, liegt der Punkt im zweiten Quadranten. Das Argument wird wie folgt errechnet:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\tan\varphi \; = \; \tfrac{5}{-5} = -1 \quad\Rightarrow\quad \varphi \; = \; \tfrac{3}{4}\pi</math>}}

Wir erhalten also die folgende Polarform:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z \; = \; 5\sqrt{2}\cdot\operatorname{cis}\left(\tfrac{3}{4}\pi\right)</math>}}

'''zu 2.''' <math>\quad z \; = \; 0 - 3\,\mathrm{i}</math>

Der Realteil ist Null, also liegt die Zahl auf dem negativen Teil der imaginären Achse. Der Betrag ergibt sich direkt aus dem Imaginärteil, und das Argument beträgt: <math>\;\varphi = 270^\circ=\tfrac{3{\pi}}{2}\;</math> Der Form halber soll dies mit dem Arkuskosinus „nachgerechnet“ werden:

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\varphi \; = \; - \arccos 0 \; = \; - \frac{\pi}{2} \; \equiv \; \frac{3{\pi}}{2} \mod 2\pi</math>}}

Die Polarform lautet also:
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>z = -3\,\mathrm{i} = 3 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{3{\pi}}{2}\right)</math>}}

{{Übung4 Lösung|2|Polarform in algebraische Form umwandeln}}
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{array}{rclclcc}
a &= & \sqrt{12} \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) &= & 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) &= & - \sqrt{3} \\
b &= & \sqrt{12} \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) &= & 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} &= & 3
\end{array}</math>}}

{{Übung4 Lösung|3|Drehung}}
Die ersten drei Multiplikationen sind eine mehrfache Anwendung des o.&#8239;g. Satzes:
* i<sup>2</sup> liefert eine Drehung um <math>\pi</math>, also die Punktspiegelung am Nullpunkt.
* i<sup>3</sup> liefert eine Drehung um <math>\tfrac{3\pi}{2}</math>.
* i<sup>4</sup> liefert eine Drehung um <math>2\pi</math>, also den ursprünglichen Wert.
Die Multiplikation mit 2i entspricht der Aussage des Satzes; der Faktor 2 sorgt zusätzlich für eine entsprechende Streckung.

Die Multiplikation mit ''−i'' entspricht ebenfalls dem Satz; der Faktor −1 sorgt für eine Drehung im (mathematisch) negativen Sinn. 

{{Übung4 Lösung|4|Multiplikation}}
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z_1 \cdot z_2 \; &= \; 3 \cdot 2 \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{2}{3} + \tfrac{3}{4} )\pi \right)\quad = \quad 6 \cdot \operatorname{cis}\left( \tfrac{17}{12}\pi \right) \\
&= \; 6 \cdot \cos\left( \tfrac{17}{12}\pi \right) + 6\,\mathrm{i} \cdot \sin\left( \tfrac{17}{12}\pi \right) \quad = \quad 6 \cdot \cos 255^\circ + 6 \mathrm{i} \cdot \sin 255^\circ \\
&\approx \; - 6 \cdot 0{,}2588 - 6\,\mathrm{i} \cdot 0{,}97 \quad\approx\quad - 1{,}5529 - 5{,}7956 \cdot \mathrm{i} \qquad \text{(4. Quadrant)}
\end{align}</math>}}

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z_1 \cdot z_3 \; &= \; 3 \cdot 1 \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{2}{3} + \tfrac{5}{6} )\pi \right) \quad=\quad 3 \cdot \operatorname{cis}\left( \tfrac{9}{6}\pi \right) \\
&= \; 3 \cdot \cos\left( \tfrac{3}{2}\pi \right) + 3\,\mathrm{i} \cdot \sin\left( \tfrac{3}{2}\pi \right) \quad=\quad 3 \cdot \cos 270^\circ + 3\,\mathrm{i} \cdot \sin 270^\circ \\
&= \; 3 \cdot 0 - 3 \cdot \mathrm{i} \qquad \text{(imaginäre Achse, negativer Abschnitt)}
\end{align}</math>}}

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z_2 \cdot z_4 \; &= \; 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{4} )\pi \right) \quad=\quad 1 \cdot \operatorname{cis}\left( \tfrac{8}{4}\pi \right) \\
&= \; \cos( 2\pi ) + \mathrm{i} \cdot \sin( 2\pi ) = 1 + 0\cdot\mathrm{i} \qquad \text{(reelle Achse, positiver Abschnitt)}
\end{align}</math>}}

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
z_3 \cdot z_4 \; &= \; 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{5}{6} + \tfrac{5}{4} )\pi \right) \quad=\quad \frac{1}{2} \cdot \operatorname{cis}\left( \tfrac{25}{12}\pi \right) \\
&= \; \frac{1}{2} \cdot \cos( \tfrac{1}{12}\pi ) + \frac{1}{2}\mathrm{i} \cdot \sin( \tfrac{1}{12}\pi ) \quad=\quad \frac{1}{2} \cdot \cos 15^\circ + \frac{1}{2} \mathrm{i} \cdot \sin 15^\circ \\ 
&\approx \; \frac{1}{2} \cdot 0{,}9659 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}2588 \cdot\mathrm{i} \quad\approx\quad 0{,}483 + 0{,}1294 \cdot \mathrm{i} \qquad \text{(1. Quadrant)}
\end{align}</math>}}

{{Übung4 Lösung|5|Division}}
{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
\frac{z_3}{z_1} \; &= \; \frac{1}{3} \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{5}{6} - \tfrac{2}{3} )\pi \right) \quad=\quad \frac{1}{3} \cdot \operatorname{cis}\left( \tfrac{1}{6}\pi \right) \\
&= \; \frac{1}{3} \cdot \cos\tfrac{\pi}{6} + \frac{1}{3\,}\mathrm{i} \cdot \sin\tfrac{\pi}{6} \quad=\quad \frac{1}{3} \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{3}\,\mathrm{i} \cdot \sin 30^\circ \\
&= \; \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3}\,\mathrm{i} \cdot \frac{1}{2} \quad=\quad \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{6} \cdot \mathrm{i} \qquad \text{(1. Quadrant)}
\end{align}</math>}}

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
\frac{z_2}{z_3} \; &= \; \frac{2}{1} \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{3}{4} - \tfrac{5}{6} )\pi \right) \quad=\quad 2 \cdot \operatorname{cis}\left( - \frac{1}{12}\pi \right) 
\quad=\quad 2 \cdot \cos( - 15^\circ ) + 2\mathrm{i} \cdot \sin( - 15^\circ ) \\
&\approx \; 2 \cdot 0{,}9659 + 2\,\mathrm{i} \cdot ( - 0{,}2588 ) \quad\approx\quad 1{,}9319 - 0{,}5176 \cdot \text{i} \qquad \text{(4. Quadrant)}
\end{align}</math>}}

{{:Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel|<math>\begin{align}
\frac{z_2}{z_4} \; &= \; \frac{2}{0{,}5} \cdot \operatorname{cis}\left( ( \tfrac{3}{4} - \tfrac{5}{4} )\pi \right) \quad=\quad 4 \cdot \operatorname{cis}\left( - \tfrac{\pi}{2} \right) 
\quad=\quad 4 \cdot \cos( \tfrac{3}{2}\pi ) + 4\,\mathrm{i} \cdot \sin( \tfrac{3}{2}\pi ) \\
&= \; 4 \cdot 0 + 4 \cdot \mathrm{i} \cdot ( -1 ) \quad=\quad - 4 \cdot \mathrm{i} \qquad \text{(imaginäre Achse, negativer Abschnitt)}
\end{align}</math>}}

== Hinweise ==
=== Anmerkungen ===
<references />

=== Siehe auch ===
Übersichtsartikel bei {{w|Hauptseite|Wikipedia}}:
* [[w:Gaußsche Zahlenebene|Gauß’sche Zahlenebene]]
* [[w:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]
* [[w:Zahlengerade|Zahlengerade]]
* [[w:Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus und Arkuskosinus]] sowie [[w:Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens und Arkuskotangens]]

<noinclude>{{AutoNavigation}}</noinclude>