Quelltext der Seite Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Kreisesatz von Gerschgorin

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Das '''Kreisesatz von Gerschgorin''' oder auch '''Kreissatz von Gerschgorin''' bzw. '''Satz von Gerschgorin''', in englischsprachigen Quellen auch ''Gershgorin circle theorem'' genannt, ist ein Lehrsatz des  mathematischen Teilgebiets der Linearen Algebra. Der Satz ist benannt nach dem weißrussischen Mathematiker ''Semjon Aronowitsch Gerschgorin'' und gibt Aufschluss über die  Lage der Eigenwerte komplexwertiger  Matrizen innerhalb der gaußschen Zahlenebene .<ref name="O-R">James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: ''Iterative Solution ...'' 2000, S. 49</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz besagt folgendes:<ref name="O-R" />

''Es sei'' 
: <math>A = (a_{jk})_{j,k = 1, \ldots , n} \in {\Complex}^{n \times n} </math> 
''eine komplexwertige Matrix <math>n \times n</math>-Matrix zu einer natürlichen Zahl <math>n</math> .''
'' Dabei sei für jeden der Indizes <math>j=1, \ldots, n</math> ''
: <math>c_j=\sum_{k=1, \ldots, n \atop \;\ k \neq j} {|a_{jk}|}</math>
''und dazu''
: <math>D_j =  \overline{U_{c_j}\,(a_{jj})} =  \{z \in \Complex \colon | a_{jj} - z | \leq  c_j \}</math>
''die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius <math>c_j</math> und Mittelpunkt <math>a_{jj}</math>.''

''Dann gilt:''
: ''Zu jedem komplexen Eigenwert <math>\lambda</math> der Matrix <math>A</math> gibt es eine Kreisscheibe <math>D_j \; (j=1, \ldots, n)</math>, die <math>\lambda</math> enthält.''

== Beweis des Satzes ==
Der Darstellung von Ortega und Rheinboldt folgend lässt sich der Beweis führen wie folgt:<ref name="O-R">James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: ''Iterative Solution ...'' 2000, S. 49</ref>

Sei
: <math>\lambda \in \Complex </math> 

Eigenwert der Matrix 
: <math>A \in {\Complex}^{n \times n}</math>

und sei 
: <math>x \in {\Complex}^n \setminus \{ 0\}</math>

ein zugehöriger Eigenvektor und 

: <math>B = A - \lambda I_n</math> 

mit 
: <math>I_n \in {\Complex}^{n \times n}</math> 

als komplexwertiger <math>n \times n</math>-Einheitsmatrix.

Dann gilt einerseits
: <math>B x= 0</math>

und andererseits  wegen <math>x \neq 0</math>  für einen Index  <math>m \in \{1, \ldots, n\}</math> 
: <math>|x_m| = \max_{k=1, \ldots, n} {|x_k|}  > 0</math>.

Man hat also
: <math>0=\sum_{k=1, \ldots, n} {b_{mk} x_k} </math>

und dann weiter
: <math> |x_m| \cdot |b_{mm}| = |b_{mm} x_m| = |- \sum_{k=1, \ldots, n \atop \;\ k \neq m} {b_{mk} x_k} | \leq    |x_m|  \cdot  \sum_{k=1, \ldots, n \atop \;\ k \neq m} |{b_{mk}} |</math>.

und damit
: <math> |x_m| \cdot |a_{mm} - \lambda|  \leq    |x_m|  \cdot  \sum_{k=1, \ldots, n \atop \;\ k \neq m} |{a_{mk}} | = |x_m| \cdot c_m </math> .

Folglich ist 
: <math>|a_{mm} - \lambda|  \leq  c_m </math> 

und daher
: <math>\lambda \in D_m </math> &nbsp; ,

was die Behauptung des Satzes beweist.

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
|Autor=S. Gerschgorin
|Titel=Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix
|Sammelwerk=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya
|Band=1
|Jahr=1931
|Seiten=749-754
|DOI=
|Online=[http://mi.mathnet.ru/eng/izv/y1931/i6/p749]
}}
* {{Literatur
|Autor=James M. Ortega, W. C. Rheinboldt
|Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
|TitelErg=(Unabridged republication of the work first published by Acadmic Press, New York and London, 1970)
|Reihe=Classics in Applied Mathematics
|Band=30
|Auflage=
|Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
|Ort=Philadelphia
|Jahr=2000
|ISBN=0-89871-461-3
|DOI=
|Online=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rheinboldt&s5=Ortega&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]
* {{Literatur
|Autor=Richard S. Varga
|Titel=Geršgorin and His Circles
|TitelErg=
|Reihe=Springer Series in Computational Mathematics
|Band=36
|Auflage=
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin
|Jahr=2004
|ISBN=3-540-21100-4
|DOI=
|Online=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=&s5=Ger%C5%A1gorin%20and%20His%20Circles&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR2093409]

== Einzelnachweise ==
<references />