Quelltext der Seite Aufgabensammlung Mathematik: DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

== DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung ==
Zeigen Sie, dass jedes der Anfangswertprobleme

:<math>x^\prime = \sin(tx),\ x(t_0)=x_0,\ t_0,x_0\in\R</math>

eine eindeutig bestimmte Lösung auf ganz <math>\R</math> besitzt.

<small>(Quelle: Aufgabe 4 vom [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~nedelcu/uebungen/blatt4f.pdf Übungsblatt 4], Vorlesung „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ gehalten von [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~stock/ Edgardo Stockmeyer] Sommersemester 2011, LMU München. Übungsgruppenleiter: Sorin Nedelcu</small>)

==Beweis==
'''Behauptung 1:''' Die DGL besitzt auf jedem Intervall <math>[a,b]</math> mit <math>t_0\in[a,b]</math> eine eindeutige Lösung

Sei <math>f:[a,b]\times \R\rightarrow\R: (t,x) \mapsto \sin(tx)</math>. <math>f</math> ist global Lipschitz-stetig bezüglich <math>x</math>, denn die partielle Ableitung <math>\partial_x f</math> ist betragsmäßig durch <math>\max\{|a|,|b|\}</math> nach oben beschränkt:

:<math>|\partial_x f(x)|=|\partial_x (\sin(tx))|=|t\cdot \cos(tx)|=|t|\cdot|\cos(tx)| \le |t| \le \max\{|a|,|b|\}</math>

Wegen <math>|\partial_x f|\le \max\{|a|,|b|\}</math> ist <math>f</math> bezüglich <math>x</math> global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL <math>x^\prime = f(t,x)=\sin(tx)</math> eine auf ganz <math>[a,b]</math> definierte, eindeutige Lösung.

'''Behauptung 2:''' Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung

In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall <math>[a,b]</math> mit <math>t_0\in[a,b]</math> eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes <math>n\in\N_{\ge 1}</math> die Funktion <math>\lambda_n</math> die eindeutige Lösung auf dem Intervall <math>[t_0-n,t_0+n]</math>. Wir definieren:

:<math>f_n:\R\rightarrow\R:x\mapsto \begin{cases} \lambda_n(x) & x\in [t_0-n,t_0+n] \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}</math>

<math>f_n</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math>f</math>, da <math>\lambda_m(x)=\lambda_n(x)</math> für <math>m\ge n</math> und <math>x\in [t_0-n,t_0+n]</math>. Da für jedes <math>x\in\R</math> es eine offene Umgebung um <math>x</math> gibt, auf der <math>f</math> mit einem der Löungsfunktionen <math>\lambda_n</math> übereinstimmt, ist <math>f</math> eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.