MediaWiki-API-Ergebnis
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"*": "<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-lineno\" id=\"mw-diff-left-l1\">Zeile 1:</td>\n<td colspan=\"2\" class=\"diff-lineno\">Zeile 1:</td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><<del class=\"diffchange diffchange-inline\">strong</del>><del class=\"diffchange diffchange-inline\">MediaWiki wurde installiert</del>.</<del class=\"diffchange diffchange-inline\">strong</del>></div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">__NOTOC__</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">div style=\"font-size:180%; text-align:center;\"</ins>></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">'''Kapitel 1: Fundamentalsatz der Arithmetik'''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"></div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">{| class=rimage</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><div style=\"border:1pt solid #8080ff;padding:0.5em;background-color:#F0F0FF\"></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">'''\u00dcberblick \u00fcber das Kapitel:'''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">{| style=\"background-color:#F0F0FF\"</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | <div style=\"border:1pt solid #000000;padding:0.5em;background-color:#8080ff\">Teilbarkeit</div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | &darr;</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | <div style=\"border:1pt solid #000000;padding:0.5em;background-color:#8080ff\">Primzahl/<br>unzerlegbare Zahl</div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | &rarr;</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | <div style=\"border:1pt solid #000000;padding:0</ins>.<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">5em;background-color:#ff8080\">Satz von Euklid</ins></<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | &darr;</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | <div style=\"border:1pt solid #000000;padding:0.5em;background-color:#ff8080\"</ins>><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Fundamentalsatz<br>der Arithmetik</div> </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | &darr;</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> | <div style=\"border:1pt solid #000000;padding:0.5em;background-color:#8080ff\">Primfaktorzerlegung</div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |-</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |}</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"></div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> |}</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Eine sehr zentrale Eigenschaft der nat\u00fcrlichen Zahlen ist die, dass sich jede nat\u00fcrliche Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen l\u00e4sst, und dass diese Darstellung im Wesentlichen sogar eindeutig ist. Dieses Resultat nennt man den ''Fundamentalsatz der Arithmetik''.</ins></div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\"></td><td class=\"diff-context diff-side-deleted\"><br></td><td class=\"diff-marker\"></td><td class=\"diff-context diff-side-added\"><br></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><del class=\"diffchange diffchange-inline\">Hilfe zur Verwendung und Konfiguration </del>der <del class=\"diffchange diffchange-inline\">Wiki-Software findest du im [https</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">//www</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">mediawiki</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org/wiki/Special:MyLanguage/Help:Contents Benutzerhandbuch]</del>.</div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Nat\u00fcrlich ben\u00f6tigt man hierf\u00fcr den (in der Zahlentheorie zentralen) Begriff der ''Primzahl''. Eine Definition </ins>der <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Primzahl k\u00f6nnte lauten</ins>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei nat\u00fcrliche Teiler hat, n\u00e4mlich 1 und sich selbst. Wir werden Primzahlen anders definieren, da sich dies sp\u00e4ter bei Verallgemeinerungen als praktisch erweisen wird</ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Zahlen, die genau zwei nat\u00fcrliche Teiler haben, nennen wir ''irreduzible Zahlen''</ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wir werden dann sehen, dass beide Definitionen die gleiche Zahlenmenge definieren</ins>.</div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\"></td><td class=\"diff-context diff-side-deleted\"><br></td><td class=\"diff-marker\"></td><td class=\"diff-context diff-side-added\"><br></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><del class=\"diffchange diffchange-inline\">== Starthilfen ==</del></div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Im Zusammenhang mit den Primzahlen werden wir noch kurz auf ein weiteres Resultat eingehen, n\u00e4mlich die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dies wird als der ''Satz von Euklid'' bezeichnet.</ins></div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\"></td><td class=\"diff-context diff-side-deleted\"><br></td><td class=\"diff-marker\"></td><td class=\"diff-context diff-side-added\"><br></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><del class=\"diffchange diffchange-inline\">* [https</del>://<del class=\"diffchange diffchange-inline\">www</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">mediawiki</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">wiki</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Special</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">MyLanguage</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Manual</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Configuration_settings Liste </del>der <del class=\"diffchange diffchange-inline\">Konfigurationsparameter</del>]</div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Bevor wir aber zu den Primzahlen kommen, m\u00fcssen wir etwas Vorarbeit leisten und uns den ''Teilbarkeitsbegriff'' anschauen.</ins></div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div>* <del class=\"diffchange diffchange-inline\">[https</del>://<del class=\"diffchange diffchange-inline\">www</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">mediawiki</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">wiki</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Special</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">MyLanguage</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Manual</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">FAQ H\u00e4ufige Fragen </del>zu <del class=\"diffchange diffchange-inline\">MediaWiki</del>]</div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><del class=\"diffchange diffchange-inline\">* </del>[<del class=\"diffchange diffchange-inline\">https</del>://<del class=\"diffchange diffchange-inline\">lists</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">wikimedia</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">postorius</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">lists</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">mediawiki</del>-<del class=\"diffchange diffchange-inline\">announce</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">lists</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">wikimedia</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org</del>/ <del class=\"diffchange diffchange-inline\">Mailingliste </del>zu <del class=\"diffchange diffchange-inline\">neuen Versionen </del>von <del class=\"diffchange diffchange-inline\">MediaWiki</del>]</div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">==Teilbarkeit==</ins></div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><del class=\"diffchange diffchange-inline\">* [https</del>://<del class=\"diffchange diffchange-inline\">www</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">mediawiki</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">wiki</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Special</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">MyLanguage</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Localisation#Translation_resources \u00dcbersetze MediaWiki </del>f\u00fcr <del class=\"diffchange diffchange-inline\">deine Sprache</del>]</div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"\u2212\"></td><td class=\"diff-deletedline diff-side-deleted\"><div><del class=\"diffchange diffchange-inline\">* [https</del>://<del class=\"diffchange diffchange-inline\">www</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">mediawiki</del>.<del class=\"diffchange diffchange-inline\">org</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">wiki</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Special</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">MyLanguage</del>/<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Manual</del>:<del class=\"diffchange diffchange-inline\">Combating_spam Erfahre</del>, <del class=\"diffchange diffchange-inline\">wie du Spam </del>auf <del class=\"diffchange diffchange-inline\">deinem Wiki bek\u00e4mpfen kannst</del>]</div></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Definition: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Findet man zu zwei Zahlen <math>a, b \\in \\Z<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> eine weitere Zahl <math>c \\in \\Z<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> mit der Eigenschaft, dass <math>a \\cdot c = b</math>, so sagt man, die Zahl <math>a\\,</math> teilt die Zahl <math>b\\,</math> und schreibt <math>a \\mid b</math></ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Weiterhin sagt man auch, <math>b\\,</math> ist ein Vielfaches von <math>a\\,</math>: {{w|Teilbarkeit}}</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Hier ein paar Regeln f\u00fcr die Teilbarkeit, die sich leicht beweisen lassen:</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">#F\u00fcr jedes ganze ''a'' gilt: <math>1 \\mid a</math>, <math>a \\mid a</math> und <math>a \\mid 0</math></ins>.</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">#Gilt <math>a \\mid b</math>, so gilt auch <math>-a \\mid b</math> und <math>a \\mid -b<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">#F\u00fcr <math>b,k \\ne 0<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> gilt</ins>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><math>a \\mid b \\Leftrightarrow k \\cdot a \\mid k \\cdot \\ b <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">#Gilt <math>a \\mid b</math> und <math>c \\mid d</math>, so gilt auch <math> a \\cdot c \\mid b \\cdot d </math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">#Gilt <math>a \\mid b</math> und <math>b \\mid c</math>, so gilt auch <math>a \\mid c</math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">#Gilt <math>a \\mid b</math> und <math>a \\mid c</math>, so gilt f\u00fcr alle <math>x,y \\in \\Z</math> die Relation <math>a \\mid b \\cdot x + c \\cdot y\u00a0 </math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Die zweite Regel besagt offenbar, dass man sich bei der Untersuchung von ganzen Zahlen auf die Teilbarkeit der nat\u00fcrlichen Zahlen beschr\u00e4nken kann. Hierzu benutzt man noch die folgende Redeweise</ins>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Eine Zahl <math>a\\,</math> ist ein ''echter Teiler'' von <math>b\\,</math>, falls <math>a \\ne 1</math> und <math>a \\ne b</math> gilt.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">==Primzahlen==</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wenn man jemanden auf der Stra\u00dfe fragt, was Primzahlen sind, erh\u00e4lt man viele verschiedene Antworten, insbesondere die Frage, ob <math> 1 </math> eine Primzahl ist, wird kontrovers beantwortet. In </ins>der <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Mathematik gibt es zwei etwa gleich weit verbreitete Definitionen, die \u00e4quivalent sind. In beiden F\u00e4llen ist <math> 1 </math> keine Primzahl. Wer sich daf\u00fcr interessiert, warum dies so ist, kann dies unter [[Mathematik: Zahlentheorie: Warum 1 keine Primzahl ist|Warum 1 keine Primzahl ist]] nachlesen.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wir beginnen hier mit der dem Laien eher unbekannteren Definition, da diese sp\u00e4ter f\u00fcr die Definition von Primelementen (das ist eine Verallgemeinerung von Primzahlen) benutzt wird. Anschlie\u00dfend zeigen wir, dass diese zur zweiten Definition (Primzahl ist, was genau zwei Teiler hat) \u00e4quivalent ist.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Definition: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Eine '''Primzahl''' ist eine nat\u00fcrliche Zahl <math> p > 1 </math> f\u00fcr die gilt: Falls <math> p </math> eine Zahl <math> a \\cdot b </math> teilt, so teilt <math> p </math> auch einen der Faktoren <math> a </math> oder <math> b </math>. ''&rarr;&nbsp;[[w:Primzahl|Wikipedia:Primzahl]</ins>]<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beispiele: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">*<math> 21 </math> ist keine Primzahl, denn: <math> 21 </math> teilt <math> 15 \\cdot 35 </math>, aber <math> 21 </math> teilt weder <math> 15 </math> noch <math> 35 </math>. </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>*<ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><math> 2 </math> ist eine Primzahl, denn</ins>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Seien <math> a </math> und <math> b </math> beliebige Zahlen, so dass <math> 2 </math> ein Teiler des Produktes <math> a \\cdot b </math> ist. Dann gibt es eine Zahl <math> k </math> mit <math> 2 k = a \\cdot b </math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Es ist zu zeigen, dass <math> 2 </math> ein Teiler von <math> a </math> oder <math> b </math> ist. Ist <math> a </math> durch <math> 2 </math> teilbar, so sind wir fertig. Ist dagegen <math> a </math> nicht durch <math> 2 </math> teilbar, so gibt es eine Zahl <math> n <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> mit <math> a = 2 \\cdot n + 1 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math></ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Zusammen ergibt sich: <math> 2\u00a0 k = ( 2 n + 1) \\cdot b = 2n \\cdot b + b </math> und damit <math> 2 k - 2n \\cdot b = 2( k - n \\cdot b) = b </math></ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Somit ist <math> 2 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> ein Teiler von <math> b <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>. [[Mathematik: Zahlentheorie: Details zu den Beweisen|&rarr; Details]]</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wie f\u00fchren jetzt die \"zweite Definition\" von Primzahlen an. Um diese beiden Definitionen auseinander zu halten, nennen wir die Primzahlen hier ''unzerlegbare Zahlen''. (Achtung: Diesen Begriff f\u00fchren wir hier nur der \u00dcbersichtlichkeit halber ein. In der Mathematik ist der Begriff nur in seiner Verallgemeinerung \"unzerlegbares Element\" bekannt.)</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Definition: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Eine '''unzerlegbare (irreduzible) Zahl''' ist eine nat\u00fcrliche Zahl <math> p > 1 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>, die keine echten Teiler hat. ''&rarr;&nbsp;[[w:Irreduzibles Element|Wikipedia</ins>:<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Irreduzibles Element]]''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wie schon erw\u00e4hnt sind Primzahlen und unzerlegbare Zahlen genau die gleichen. Die Unterscheidung wird aber interessant, wenn man </ins>zu <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">allgemeineren Ringen \u00fcbergeht und dort analog Primelemente und irreduzible Elemente definiert. Hier fallen die beiden Begriffe nicht immer zusammen.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wir werden hier erst mal nur zeigen, dass jede Primzahl eine unzerlegbare Zahl ist. Damit der Beweis der Umkehrung nicht unn\u00f6tig kompliziert wird, ben\u00f6tigen wir das Konzept des gr\u00f6\u00dften gemeinsamen Teilers, welches erst im [[Mathematik: Zahlentheorie: Gr\u00f6\u00dfter gemeinsamer Teiler|n\u00e4chsten Kapitel]</ins>] <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">eingef\u00fchrt werden wird.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Satz: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Jede Primzahl ist eine unzerlegbare Zahl.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">;Beweis: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:Sei <math> n </math> Primzahl. Angenommen, es g\u00e4be einen Teiler <math> a \\ne 1, n </math> von <math> n </math>, dann gilt <math> a \\cdot b = n </math>. Da <math> n </math> Primzahl ist, teilt <math> n </math> mindestens eine der beiden Zahlen <math> a </math> und <math> b </math>. Sicherlich teilt <math> n </math> nicht <math> a </math>, da <math> a \\ne n </math> und <math> a </math> ein Teiler von <math> n </math> ist. Also gilt <math> n \\ | \\ b </math>, das hei\u00dft, es existiert eine Zahl <math> c </math> mit <math> n \\cdot c = b </math>. Setzen wir diese Formel f\u00fcr <math> b </math> in <math> a \\cdot b = n </math> ein, so erhalten wir <math> a \\cdot n \\cdot c = n </math> und damit <math> a \\cdot c = 1 </math> woraus <math> a = 1 </math> folgt. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass <math> a \\ne 1 </math> ist.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Im Folgenden benutzen wird die Begriffe \"unzerlegbare Zahl\" und \"Primzahl\" synonym, auch wenn wir die Umkehrung des obigen Satzes erst im [</ins>[<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Mathematik: Zahlentheorie: Gr\u00f6\u00dfter gemeinsamer Teiler|n\u00e4chsten Kapitel]] zeigen werden.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">==Satz von Euklid==</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wie viele Primzahlen gibt es? Bereits Euklid wusste ca. 300 Jahre vor unserer Zeitrechnung, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Bevor wir den nach ihm benannten Satz formulieren werden, wollen wir ein Lemma beweisen, welches wir dort ben\u00f6tigen:</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Lemma</ins>: \u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Der kleinste Teiler einer nat\u00fcrlichen Zahl <math> n > 1 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>, der gr\u00f6\u00dfer als <math> 1 </math> ist, ist eine Primzahl.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beweis: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: <math> n </math> besitzt auf alle F\u00e4lle einen Teiler, der gr\u00f6\u00dfer als <math> 1 </math> ist, n\u00e4mlich <math> n </math> selbst, somit auch einen kleinsten solchen. Sei <math> p </math> der kleinste Teiler von <math> n </math>, der gr\u00f6\u00dfer als <math> 1 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> ist</ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wir behaupten, <math> p </math> ist eine Primzahl. Angenommen, <math> p </math> sei keine Primzahl, dann gibt es einen echten Teiler <math> a </math> von <math> p </math></ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Dieser ist aber auch ein Teiler von <math> n </math> und gr\u00f6\u00dfer als <math> 1 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>, was ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass <math> p <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> der kleinste solche Teiler sei, ist.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Satz (von Euklid): </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Es gibt unendlich viele Primzahlen. ''&rarr;&nbsp;[[w:Satz von Euklid|Wikipedia:Satz von Euklid]]''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beweis: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Angenommen, es g\u00e4be nur endlich viele Primzahlen und diese seien <math> p_1, ... , p_k <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> so betrachtet man die Zahl <math> n = p_1 \\cdot p_2 \\cdot ... \\cdot p_{k</ins>-<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">1} \\cdot p_k + 1 </math>. Da diese beim Teilen durch <math> p_i </math> den Rest <math> 1 </math> l\u00e4sst, ist sie durch keine der Zahlen <math> p_1 , ..., p_k </math> teilbar. Dies bedeutet aber, dass der kleinste Teiler von <math> n </math>, welcher nach dem Lemma eine Primzahl ist, eine weitere noch nicht aufgef\u00fchrte Primzahl sein muss.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beispiel: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Nehmen wir einmal an, <math> 2, 3 </math> und <math> 5</math> seien die einzigen Primzahlen, dann erhalten wir nach dem Beweis des Satzes, die Zahl <math> n = 2 \\cdot 3 \\cdot 5 + 1 = 31 </math></ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\"> Der kleinste Teiler von <math> 31 </math> ist <math> 31 </math> selbst und wir haben eine neue Primzahl gefunden</ins>. \u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">''Achtung'': Die Zahl <math> n </math> aus dem Beweis muss selbst nicht unbedingt eine Primzahl sein</ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Nimmt man etwa an, <math> 3 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> und <math> 5 </math> seien die einzigen Primzahlen, so ist <math> n = 3 \\cdot 5 + 1 = 16 </math> und <math> 16 </math> ist keine Primzahl. Wohl aber <math> 2 </math>, ihr kleinster Teiler.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">==Fundamentalsatz der Arithmetik==</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Inzwischen haben wir alles zusammen, um den Fundamentalsatz </ins>zu <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">beweisen. Bevor wir dies aber machen, wollen wir noch kurz auf die Frage eingehen, warum dieser Satz so wichtig ist, dass er als Fundamentalsatz bezeichnet wird. Zur Erinnerung: Der Satz besagt, dass sich jede nat\u00fcrliche Zahl im Wesentlichen eindeutig als Produkt </ins>von <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Primzahlen darstellen l\u00e4sst.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Bei vielen zahlentheoretischen Fragestellungen ist es m\u00f6glich, diese mit Hilfe des Fundamentalsatzes auf Primzahlen, oder oftmals auch auf Primzahlpotenzen, zu beschr\u00e4nken. Das hei\u00dft, man kann aus einer L\u00f6sung, die nur mit Primzahlen funktioniert, sehr einfach eine L\u00f6sung f\u00fcr beliebige Zahlen konstruieren.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Dies ist beispielsweise bei der Berechnung der Anzahl, der zu einer gegebenen Zahl <math> n </math> teilerfremden Zahlen der Fall, oder bei Aussagen \u00fcber den gr\u00f6\u00dften gemeinsamen Teiler bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehreren Zahlen und beim L\u00f6sen polynomialer Kongruenzen. Da es noch viele weitere Beispiele gibt, spielt der Fundamentalsatz in der Zahlentheorie eine derart wichtige Rolle.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Satz: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Jede nat\u00fcrliche Zahl l\u00e4sst sich als Produkt von endlich vielen Primzahlen darstellen. Ordnet man diese Primzahlen der Gr\u00f6\u00dfe nach, so ist diese Darstellung sogar eindeutig. ''&rarr;&nbsp;[[w:Fundamentalsatz der Arithmetik|Wikipedia:Fundamentalsatz der Arithmetik</ins>]<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">]''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Man spricht in diesem Zusammenhang auch oft davon, dass die Darstellung ''im Wesentlichen eindeutig'' ist.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">{| border=1 style=\"border:0px\"</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">| style=\"border:1px\" | &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">| style=\"border:1px solid #440088; padding:0; background-color:#F8F8FF\" |</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><div style=\"padding:0.5em; text-align:left; font-weight:normal; font-size:100%; color:#000000\"></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">====Leere Produkte und Produkte mit nur einem Faktor====</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Wenn Sie mal versucht haben, ein paar Beispiele f\u00fcr diesen Satz zu konstruieren (und das sollten Sie, da sowas eine sehr effektive M\u00f6glichkeit ist, zu lernen), dann sind Sie m\u00f6glicherweise auf Zahlen gesto\u00dfen, bei denen Sie keine solche Darstellung finden konnten. Bevor Sie deswegen das Studium der Mathematik aufgeben und beschlie\u00dfen doch lieber in die W\u00fcste zu ziehen und dort Kamele zu z\u00fcchten<sup>1)</sup>, m\u00f6chten wir hier auf eine mathematische Konvention hinweisen, die vielleicht das Problem l\u00f6st.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Es gibt Produkte mit zwei, drei, vier, oder noch mehr Faktoren. Es liegt nahe, sich da zu fragen, ob es auch Produkte mit einem, oder gar null Faktoren gibt. Da sich dies als \u00e4u\u00dferst praktisch erwiesen hat, sind die Mathematiker \u00fcbereingekommen, dass es sowas geben soll. Produkte mit nur einem Faktor sind dann die Zahl selbst und das so genannte ''leere Produkt'' mit null Faktoren hat den Wert&nbsp;1. </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Warum macht man das so? Die Idee ist einfach die, wenn ich ein Produkt aus drei Faktoren habe, und eine weitere Zahl an das Produkt dran multipliziere, so erhalte ich ein Produkt aus vier Faktoren. Diese Eigenschaft m\u00f6chte man auch bei Produkten mit nur einem oder null Faktoren behalten und damit kommt man zwangsl\u00e4ufig auf die gerade eben beschriebene Konvention.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">War das die L\u00f6sung des Problems, oder vielleicht doch die Variante mit den Kamelen in der W\u00fcste?</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><div style=\"font-size:80%; line-height:normal\"></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><sup>1)</sup>&nbsp;&nbsp;Wir m\u00f6chten an dieser Stelle darauf hinweisen, dass wir das Z\u00fcchten von Kamelen als einen durchaus ehrenwerten Beruf erachten und uns bei allen Kamelz\u00fcchtern f\u00fcr etwaige, aus diesem unzul\u00e4nglichen Beispiel entstandenen Missverst\u00e4ndnisse entschuldigen.</div></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">| style=\"border:1px\" |</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">|}</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beweis: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: ''\"Existenz\"'': Als erstes wollen wir zeigen, dass zu jeder Zahl eine Darstellung existiert. Wir machen dies durch Induktion. Die <math> 1 </math> l\u00e4sst sich als leeres Produkt und jede Primzahl als Produkt mit einem Faktor darstellen. Sei nun <math> n > 3 </math> keine Primzahl und f\u00fcr alle Zahlen kleiner als <math> n </math> bereits bewiesen, dass eine Darstellung existiert. Dann hat <math> n </math> einen echten Teiler <math> a </math>.\u00a0 Damit l\u00e4sst sich <math>n </math> schreiben als <math> a \\cdot b </math>. Da aber <math> a </math> und <math> b </math> kleiner als <math> n </math> sind, ist nach Voraussetzung bereits eine Darstellung als Produkt von Primzahlen f\u00fcr diese Zahlen bekannt. Multipliziert man diese beiden Produkte miteinander, so erh\u00e4lt man eine Darstellung f\u00fcr <math> n </math>. </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: ''\"Eindeutigkeit\"'': Wir zeigen nun, dass die Darstellung im Wesentlichen eindeutig ist. (Im Rest des Beweises werden wir den Zusatz \"im Wesentlichen\" weglassen.) Angenommen, es gibt nat\u00fcrliche Zahlen, f\u00fcr die die Darstellung nicht eindeutig ist. Dann gibt es auch eine kleinste solche Zahl, die wir <math> n </math> nennen wollen. Wir k\u00f6nnen davon ausgehen, dass <math> n > 1 </math> gilt, da <math> 1 </math> nur eine Darstellung besitzt. Nach dem Lemma zum Satz von Euklid besitzt <math> n </math> einen kleinsten Teiler <math> p </math>, der gr\u00f6\u00dfer als <math> 1 </math> ist. Dieser Teiler ist eine Primzahl. Betrachten wir die Zahl <math> m := n / p </math>. Diese Zahl ist kleiner als <math> n </math> und hat deshalb nach Voraussetzung eine eindeutige Darstellung</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:<math>m=\\prod_{i=1}^{k}p_i</math>. </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Damit ist</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:<math>n=p\\cdot\\prod_{i=1}^{k}p_i</math></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">eine Darstellung von <math> n </math>. Da <math> n </math> nach Annahme nicht eindeutig dargestellt werden kann, gibt es eine weitere Darstellung, die ebenfalls einen kleinsten Teiler <math> q </math> besitzt. <math> q </math> muss jedoch ungleich <math> p </math> sein, denn sonst w\u00e4re die weitere Zerlegung durch die eindeutige Darstellung von <math> m </math> bereits vorgegeben und somit gleich der ersten Zerlegung. Wie oben ist auch <math> n</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">q <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> eine eindeutige Darstellung, bestehend aus den Faktoren <math> q_i </math></ins>.</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:<math>n=q\\cdot\\prod_{i=1}^{l}q_i</math></ins>.</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Da <math> p </math> der kleinste Teiler von <math> n </math> ist, m\u00fcssen <math> q </math> und alle <math> q_i </math>\u00a0 gr\u00f6\u00dfer als <math> p <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> sein. Betrachten wir jetzt die Zahl</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:<math>r=n-p\\cdot\\prod_{i=1}^{l}q_i<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>: <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Da <math> p </math> ein Teiler von <math> n </math> ist, ist auch <math> r </math> durch <math> p </math> teilbar. Durch Einsetzen der <math> q <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math>-Zerlegung </ins>f\u00fcr <ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><math> n </math> und Ausklammern ergibt sich:</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:<math>r=(q-p)\\cdot\\prod_{i=1}^{l}q_i</math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Da <math> r < n </math>, existiert daf\u00fcr ebenfalls eine eindeutige Zerlegung. Da <math> r </math> durch <math> p </math> teilbar ist, ist <math> p </math> einer der Faktoren. <math> p </math> ist jedoch nicht im Produkt der <math> q_i </math> enthalten, also muss gelten <math> p \\ | \\ (q - p) </math> und damit <math> p \\ | \\ q </math>.\u00a0 Da <math> p </math> und <math> q </math> Primzahlen sind muss also gelten <math> p = q </math>. Das ist aber ein Widerspruch zu <math> q > p </math>.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">==Primfaktorzerlegung==</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Definition: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: Die im Fundamentalsatz erw\u00e4hnte, im Wesentlichen eindeutige Darstellung einer nat\u00fcrlichen Zahl nennt man die Primfaktorzerlegung dieser Zahl. ''&rarr;&nbsp;[[w:Primfaktorzerlegung|Wikipedia:Primfaktorzerlegung]</ins>]<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">''</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Damit diese \u00fcbersichtlicher wird, schreibt man Primzahlen, die mehrfach in der Darstellung vorkommen als Primzahlpotenzen. Ganz allgemein schreibt man das dann in einer der folgenden beiden Schreibweisen.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>:<ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><math>n=\\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}=\\prod_{p\\in\\mathbb{P}}p^{\\nu_p}<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Bei der ersten Schreibweise sind die ''p''<sub>''i''<</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">sub> die ''k'' verschiedenen Primteiler von ''n''</ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Die zweite Schreibweise ist zuerst etwas gew\u00f6hnungsbed\u00fcrftiger, wird aber von eingefleischten Zahlentheoretikern meist lieber benutzt. Hier wird formal ein unendliches Produkt \u00fcber alle Primzahlen gebildet. Die Zahlen <math> \\nu_p </math> sind aber f\u00fcr fast alle Primzahlen gleich <math> 0 </math>, somit <math> p^{ \\nu_p} = p^0 = 1 </math></ins>. <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Der Faktor <math> 1 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> \u00e4ndert aber an einem Produkt nichts. F\u00fcr die Praxis hei\u00dft dies, dass nur die Primzahlen betrachtet werden, f\u00fcr die <math> \\nu_p \\ne 0 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> ist.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beispiel</ins>: \u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: <math> 118776 = 2^3 \\cdot 3 \\cdot 7^2 \\cdot 101 <</ins>/<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">math> </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Es ist bis heute ein ungel\u00f6stes Problem, ob es ein schnelles Verfahren gibt, die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen. Da bislang kein hinreichend schnelles Verfahren bekannt ist, wird diese Tatsache heutzutage ausgenutzt, um Daten, z.B. im Internet, zu verschl\u00fcsseln. Mehr zu dieser Problematik l\u00e4sst sich in der Wikipedia unter den Stichworten ''&rarr;&nbsp;[[w:Faktorisierungsproblem|Wikipedia:Faktorisierungsproblem]] &rarr;&nbsp;[[w:Faktorisierungsverfahren|Wikipedia:Faktorisierungsverfahren]] &rarr;&nbsp;[[w:Kryptologie|Wikipedia</ins>:<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Kryptologie]]'' nachlesen.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">Ohne dass wir das hier beweisen werden, m\u00f6chten wir noch erw\u00e4hnen</ins>, <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">dass sich die Primfaktorzerlegung </ins>auf <ins class=\"diffchange diffchange-inline\">ganz <math> \\mathbb{Q} </math> ausdehnen l\u00e4sst. Hierzu ben\u00f6tigt man f\u00fcr die negativen Zahlen noch den Faktor <math> -1 </math> und zudem l\u00e4sst man auch negative Exponenten <math> \\nu_p </math> zu.</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">; Beispiel: </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">: <math> - 25 / 2541 = -1 \\cdot 3^{-1} \\cdot 5^2 \\cdot 7^{-1} \\cdot 11^{-2} </math> </ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div>\u00a0</div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"><div style=\"padding: 2em 0em 0em 0em\"></ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:&rarr;&nbsp;&nbsp;[[Mathematik: Zahlentheorie: Gr\u00f6\u00dfter gemeinsamer Teiler|n\u00e4chstes Kapitel]]</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:&rarr;&nbsp;&nbsp;[[Mathematik: Zahlentheorie|Zur\u00fcck zum Inhaltsverzeichnis \"Zahlentheorie\"]]</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\">:&rarr;&nbsp;&nbsp;[[Mathematik: Inhalts\u00fcbersicht|Zur Inhalts\u00fcbersicht</ins>]<ins class=\"diffchange diffchange-inline\">]</ins></div></td></tr>\n<tr><td colspan=\"2\" class=\"diff-side-deleted\"></td><td class=\"diff-marker\" data-marker=\"+\"></td><td class=\"diff-addedline diff-side-added\"><div><ins class=\"diffchange diffchange-inline\"></div></ins></div></td></tr>\n"
}
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